הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11"
(←הוכחה) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | נניח ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I וש-<math>f_n</math> חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם <math>f_n\to f</math> נקודתית ב-I. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> | + | אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז נוכל לקחת <math>\varepsilon=1</math> ולכן קיים n מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<1</math> ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)|-|f_n(x)|<1</math>. לכן <math>|f(x)|<|f_n(x)|+1</math>. נתון ש-<math>f_n</math> חסומה, נניח <math>|f_n(x)|\le M</math> אזי <math>\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1</math>. {{משל}} |
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}} | לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}</math> ב-<math>(0,1)</math>. אזי <math>f_n\to f</math> נקודתית וכל <math>f_n</math> חסומה ע"י n, אלא ש-<math>f(x)=\frac1x</math>, שבוודאי לא חסומה. {{משל}} | ||
שורה 11: | שורה 11: | ||
'''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I. | '''הגדרה:''' נתונה סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math> ב-I. | ||
− | |||
==משפט 5== | ==משפט 5== | ||
שורה 21: | שורה 20: | ||
− | לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים | + | לצד השני, נניח ש-<math>\{f_n\}</math> מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח <math>x_0\in I</math> כלשהו ונעיר שסדרת המספרים <math>\{f_n(x_0)\}</math> היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אז <math>|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon</math> לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>. הדבר נכון לכל <math>x_0\in I</math> וכך נוצרת פונקציה גבולית <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math>. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. עפ"י תנאי קושי יש <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>m>n>n_0</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. כעת נבחר <math>n>n_0</math> מסויים ולכל <math>x\in I</math> נשאיף <math>m\to\infty</math> כלומר <math>|f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math>. לכן הוכחנו ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I. {{משל}} |
=טורי פונקציות= | =טורי פונקציות= | ||
שורה 31: | שורה 30: | ||
הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. | הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> | + | לפי הגדרה <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים <math>\{S_N(x)\}</math> מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם <math>\{S_N(x)\}</math> קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>, שמתקיים אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math> וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. {{משל}} |
==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}== | ==משפט 7 {{הערה|(מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)}}== | ||
נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. | נניח שלכל n הפונקציה <math>f_n(x)</math> מוגדרת ב-I וחסומה שם: <math>|f_n(x)|\le M_n</math> לכל <math>x\in I</math>. עוד נניח שהסכום <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס ממש. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מתכנס במ"ש על I. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> קושי | + | נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>m>n_0</math> אזי <math>\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon</math>, כלומר <math>\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> (כי <math>M_k\ge0</math>). כעת אם <math>n>m>n_0</math> אז לכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon</math> ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור <math>\sum f_n(x)</math> במ"ש על I. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
− | בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math> <math>\sum f_n</math> מתכנס בהחלט. | + | בתנאים של מבחן וירשטרס לכל <math>x\in I</math>, <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס בהחלט. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון | + | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לפי נתון <math>\forall n:\ |f_n(x)|\le M_n</math> וכן <math>\sum M_n</math> מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה <math>\sum |f_n(x)|</math> מתכנס. {{משל}} |
====דוגמה==== | ====דוגמה==== | ||
− | נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\ | + | נוכיח שהטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס נקודתית בקטע <math>(-1,1)</math> אבל לא במ"ש ונוכיח שאם <math>0<r<1</math> הטור מתכנס ב-<math>[-r,r]</math>: כבר הוכחנו שאם <math>-1<x<1</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס ל-<math>\frac1{1-x}</math>. |
+ | |||
+ | נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי <math>S_N</math> חסום בקטע <math>(-1,1)</math>: <math>|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N</math>. אם היה נכון ש-<math>S_N(x)\to\frac1{1-x}</math> במ"ש ב-<math>(-1,1)</math> היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה <math>\frac1{1-x}</math> חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. | ||
+ | |||
+ | נותר להוכיח שאם <math>r\in(0,1)</math> אז <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> במ"ש על <math>[-r,r]</math>. ובכן בקטע <math>[-r,r]</math> מתקייים <math>|x^n|\le r^n=M_n</math> כאן <math>\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}</math>. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-<math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[-r,r]</math>. {{משל}} | ||
==משפט 8== | ==משפט 8== | ||
− | נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-< | + | נניח ש-<math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)</math> עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> אז גם S רציפה ב-<math>x_0</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>. | לכל N הסכום החלקי <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)</math> סכום סופי של פונקציות רציפות ב-<math>x_0</math>. | ||
שורה 56: | שורה 59: | ||
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
− | בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם | + | בתנאים של משפט 8, אם כל <math>f_n</math> רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו. |
==משפט 9== | ==משפט 9== | ||
− | נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b | + | נניח <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. עוד נניח שכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי S אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f</math> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b]</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math> | + | כרגיל נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N</math> ונתון <math>S_N\to S</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. |
− | לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. | + | לפי משפט 3 <math>\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול <math>\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n</math> ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n</math>, שהוכחנו ששווה ל-<math>\int\limits_a^b S</math>. {{משל}} |
==משפט 10== | ==משפט 10== | ||
− | יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח: | + | יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח: |
− | * עבור <math>x_0\in I</math> | + | * עבור נקודה <math>x_0\in I</math> אחת לפחות הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)</math> מתכנס. |
− | * <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> | + | * טור הנגזרות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש לפונקציה s על I. |
− | אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'= | + | אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים <math>S'=s</math>. בפרט, בתנאים אלה <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>. |
+ | |||
+ | <span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | + | נגדיר סכומים חלקיים <math>S_N=\sum_{n=1}^N f_n</math>. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה <math>x=x_0</math> קיים <math>\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math>. הנתון השני אומר שקיים <math>s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x)</math> במ"ש ב-I. ז"א הסדרה <math>\{S_N(x)\}</math> מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x)</math> ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-<math>S'=s</math>. עתה <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> וכן <math>s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. מכיוון ש-<math>S'=s</math> נסיק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=2}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math>. {{משל}} | |
===דוגמה ממבחן=== | ===דוגמה ממבחן=== | ||
− | לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש- | + | לכל <math>x\in\mathbb R</math> נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math>. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל <math>x\in\mathbb R</math>) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל <math>x\in\mathbb R</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | + | לפי מבחן ה-M של וירשטרס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: <math>\forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}</math>. כעת <math>\sum\frac1{n^3}</math> מתכנס, לכן <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math>, כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-<math>S'</math> קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}</math> מתכנס בכל נקודה ב-<math>\mathbb R</math> וכן הטור הגזור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. לכל n מתקיים <math>\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2}</math> ו-<math>\sum\frac1{n^2}</math> מתכנס. ע"י מבחן ה-M של וירשטרס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על <math>\mathbb R</math> ולכן <math>S'</math> קיימת ובפרט <math>S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}</math>. ברור כי <math>\frac{\cos(nx)}{n^2}</math> רציפה ב-<math>\mathbb R</math> ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-<math>S'</math> במ"ש, גם <math>S'</math> רציפה (לפי משפט 8). {{משל}} |
גרסה מ־14:15, 8 ביוני 2011
תוכן עניינים
תרגיל ברוח מבחן
נניח ש- במ"ש על I וש- חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם נקודתית ב-I.
פתרון
אם במ"ש ב-I אז נוכל לקחת ולכן קיים n מסויים כך שלכל מתקיים ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל מתקיים . לכן . נתון ש- חסומה, נניח אזי .
לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר ב-. אזי נקודתית וכל חסומה ע"י n, אלא ש-, שבוודאי לא חסומה.
הגדרה: נתונה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז ב-I.
משפט 5
סדרת פונקציות בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.
הוכחה
תחילה נניח שקיים במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי נתון. לפי הנתון ש- במ"ש ב-I, קיים כך שאם אז לכל .
כעת אם אז לכל מתקיים .
לצד השני, נניח ש- מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח כלשהו ונעיר שסדרת המספרים היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל קיים כך שאם אז לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול . הדבר נכון לכל וכך נוצרת פונקציה גבולית . נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי נתון. עפ"י תנאי קושי יש כך שלכל מתקיים לכל . כעת נבחר מסויים ולכל נשאיף כלומר . לכן הוכחנו ש- במ"ש ב-I.
טורי פונקציות
נאמר שהטור מתכנס ל- במ"ש על I אם במ"ש על I.
הגדרה: הטור מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל קיים כך שאם אז לכל .
משפט 6
הטור מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.
הוכחה
לפי הגדרה מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל קיים כך שאם אזי לכל , שמתקיים אם"ם לכל וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)
נניח שלכל n הפונקציה מוגדרת ב-I וחסומה שם: לכל . עוד נניח שהסכום מתכנס ממש. אזי מתכנס במ"ש על I.
הוכחה
נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש- מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים כך שאם אזי , כלומר (כי ). כעת אם אז לכל מתקיים ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I.
מסקנה
בתנאים של מבחן וירשטרס לכל , מתכנס בהחלט.
הוכחה
נקח כלשהו. לפי נתון וכן מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה מתכנס.
דוגמה
נוכיח שהטור ההנדסי מתכנס נקודתית בקטע אבל לא במ"ש ונוכיח שאם הטור מתכנס ב-: כבר הוכחנו שאם אז מתכנס ל-.
נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי חסום בקטע : . אם היה נכון ש- במ"ש ב- היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.
נותר להוכיח שאם אז במ"ש על . ובכן בקטע מתקייים כאן . כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש- מתכנס במ"ש ב-.
משפט 8
נניח ש- עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה כל רציפה ב- אז גם S רציפה ב-.
הוכחה
לכל N הסכום החלקי סכום סופי של פונקציות רציפות ב-.
מאינפי 1 ידוע ש- רציפה ב- עבור כל N. נתון במ"ש על I.
לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-.
מסקנה
בתנאים של משפט 8, אם כל רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.
משפט 9
נניח במ"ש על . עוד נניח שכל אינטגרבילית ב-. אזי S אינטגרבילית ב- ו- בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-.
הוכחה
כרגיל נגדיר סכומים חלקיים ונתון במ"ש על . לפי משפט 3 כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא , שהוכחנו ששווה ל-.
משפט 10
יהי טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:
- עבור נקודה אחת לפחות הטור מתכנס.
- טור הנגזרות מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.
אזי מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים . בפרט, בתנאים אלה .
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
הוכחה
נגדיר סכומים חלקיים . הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה קיים . הנתון השני אומר שקיים במ"ש ב-I. ז"א הסדרה מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-. עתה וכן . מכיוון ש- נסיק .
דוגמה ממבחן
לכל נגדיר . הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל ) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל .
פתרון
לפי מבחן ה-M של וירשטרס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: . כעת מתכנס, לכן מתכנס במ"ש על , כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש- קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור מתכנס בכל נקודה ב- וכן הטור הגזור הוא . לכל n מתקיים ו- מתכנס. ע"י מבחן ה-M של וירשטרס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על ולכן קיימת ובפרט . ברור כי רציפה ב- ולכן, מכיוון שההתכנסות ל- במ"ש, גם רציפה (לפי משפט 8).