הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11"
(יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dot...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | =השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | ||
'''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. | '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמה:''' ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-<math>\mathbb R</math>. | ||
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
שורה 24: | שורה 26: | ||
|} | |} | ||
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} | תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==משפט 2== | ==משפט 2== |
גרסה מ־17:40, 30 ביוני 2011
תוכן עניינים
השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי חלוקה של (). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-. כמו כן נגדיר את , המסומן גם כ- ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור . אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-.
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-.
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- ונגדיר לכל נקודה ב-. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של שנקודותיה הן . לכן
g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||||||
הטורים הללו טלסקופיים. |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן .
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב- כך ש-.
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן . כמו כן נגדיר לכל x את ו-. לכן תמיד ומתקיים ו-. עתה נגדיר ו-. לכן . עוד נגדיר ו-. נסמן ו-, לכן מתקיים ו-. לבסוף נעיר שלכל Q מתקיים ולפיכך . לבסוף, נשים לב ש- (כי ולכן ).
למה
בסימונים הנ"ל:
הוכחת הלמה
- מתקיים נסיק ש- ולכן . הראנו כבר ש- ולכן מותר להעביר אגף: . כמו כן נסיק ש- ולכן . עתה נעביר אגף לקבל ולכן .
- מתקיים . נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל . כבר הראנו ש- ולכן .
הוכחה
לכל נגדיר , כאשר כאשר כל Q היא חלוקה של הקטע . באופן דומה נגדיר . לפי סעיף 1 של הלמה, ולכן . לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש- ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם מונוטונית עולה).
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים לכל קיים .
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-. קל לראות שהן חסומות ב- (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמתיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע.
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע.