הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
(←מצב שני deg(p)) |
(←מצב שני deg(p)) |
||
שורה 14: | שורה 14: | ||
==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>== | ==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>== | ||
− | נפרק את q לגורמים אי פריקים: | + | *נפרק את q לגורמים אי פריקים: |
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math> | <math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math> | ||
− | כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: | + | *כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים: |
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math> | <math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big] + \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>. | ||
+ | |||
+ | *נחשב כל מחובר בנפרד: | ||
+ | |||
+ | ===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>=== | ||
+ | נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>I_1=Aln(x-a)+C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math> |
גרסה מ־09:22, 1 ביולי 2011
תוכן עניינים
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.
פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על מנת לקבל: