הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ |
מ |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | # כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\ | + | # כיוון ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> משפט 9 נותן שלכל <math>x\in[a,b]</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,x_0]</math> ולכן <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: <math>|f(x)|\le M</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. כעת אם <math>x,y\in[a,b]</math> אז <math>|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|</math> ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה <math>x_0\in[a,b]</math>. ר"ל A גזירה שם. ובכן <math>A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f</math> ולכן <math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f</math>. נעיר ש-<math>\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x</math> (כי <math>f(x_0)</math> פונקציה קבועה). לכן <math>f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)</math>. מכאן ש-<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt</math>. נותר להוכיח שכאשר <math>\Delta x\to0</math> אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f רציפה ב-<math>x_0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|t-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. כעת נניח ש-<math>|\Delta x|<\delta</math>. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין <math>x_0</math> ל-<math>x_0+\Delta x</math> ולכן כל t בקטע זה מקיים <math>|t-x_0|<\Delta x</math>. נובע שלכל t בקטע <math>|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. יוצא שאם <math>|\Delta x|\le\delta</math> אז <math>\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac{|\Delta x|\varepsilon}{|\Delta x|}</math>. הדבר נכון לכל <math>\varepsilon>0</math>, לכן <math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0</math> ז"א <math>A'(x_0)</math> קיים ושווה ל-<math>f(x_0)</math>. {{משל}} |
# נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | # נתון ש-f רציפה בכל <math>[a,b]</math>. לפי החלק הקודם <math>\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)</math>, כלומר A קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. מכאן ש-<math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f</math>. {{משל}} | ||
שורה 16: | שורה 16: | ||
אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>. | אם f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-<math>[a,b]</math>. | ||
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו | + | כיוון ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כולו <math>A(x)=\int\limits_a^x f</math> קדומה ל-f ב-<math>[a,b]</math>. |
====דוגמאות==== | ====דוגמאות==== | ||
* <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית. | * <math>f(x)=e^{x^2}</math>. זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל <math>\mathbb R</math>, ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית. | ||
שורה 31: | שורה 31: | ||
− | + | '''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף". אם f מחליפה סימן אז <math>\int\limits_a^b f</math> = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לציר ה-x ולכן <math>\int\limits_a^b |f|</math> = השטח בין הגרף לציר ה-x. | |
− | + | ||
− | '''הגדרה:''' עבור <math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י <math>\int\limits_a^b f</math>. לפי זה, אם <math>f(x)\le0</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^b f</math> = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" | + | |
===דוגמת חישוב=== | ===דוגמת חישוב=== | ||
− | + | [[קובץ:שטח בין גרפים.png|200px|ימין]] | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | בגרף שמשמאל ברור שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b f-g</math>, ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש-<math>f(x)\ge g(x)</math> ב-<math>[a,b]</math>. | |
− | |||
+ | למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים <math>y=\sin(x)</math> ו-<math>y=\cos(x)</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>: | ||
+ | <div align="center">[[קובץ:שטח בין סינוס לקוסינוס.png|400px]]</div> | ||
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | ||
{{משל}} | {{משל}} |
גרסה מ־12:13, 11 ביולי 2011
את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי רימן (המשך)
משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע .
- לכל נגדיר . אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב- ולכל שבה f רציפה A גזירה כך ש-.
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע . אם F קדומה ל-f אז .
הוכחה
- כיוון ש-f אינטגרבילית ב- משפט 9 נותן שלכל f אינטגרבילית בקטע ולכן מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: לכל . כעת אם אז ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה . ר"ל A גזירה שם. ובכן ולכן . נעיר ש- (כי פונקציה קבועה). לכן . מכאן ש-. נותר להוכיח שכאשר אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש-f רציפה ב- קיים כך שאם אז . כעת נניח ש-. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין ל- ולכן כל t בקטע זה מקיים . נובע שלכל t בקטע . יוצא שאם אז . הדבר נכון לכל , לכן ז"א קיים ושווה ל-.
- נתון ש-f רציפה בכל . לפי החלק הקודם , כלומר A קדומה ל-f ב-. קיים קבוע c כך ש- לכל . מכאן ש-.
מסקנה
אם f רציפה בקטע אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-.
הוכחה
כיוון ש-f רציפה בקטע כולו קדומה ל-f ב-.
דוגמאות
- . זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל , ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
- כאשר
תרגילים לחידוד
- נגדיר . נמצא את : לפי חלק א של משפט 12 מתקיים .
- נגדיר . נמצא את : נגדיר ולכן . לפי זה ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת, .
הגדרה: עבור רציפה ב- נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י . לפי זה, אם ב- אז = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף". אם f מחליפה סימן אז = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לציר ה-x ולכן = השטח בין הגרף לציר ה-x.
דוגמת חישוב
בגרף שמשמאל ברור שהשטח בין הגרפים הוא , ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש- ב-.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים ו- בקטע :