הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.7.11"
מ (←פתרון) |
(←דוגמה 5) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
==דוגמה 5== | ==דוגמה 5== | ||
− | <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math> | + | <math>\{f_n\}</math> היא סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math> כך שקיים כך שלכל n מתקיים <math>\overset b\underset aV f_n\le M</math>. הוכח או הפרך: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\overset b\underset aV f<\infty</math>. |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | + | הוכחה: ניקח חלוקה כלשהי <math>P=\{x_k\}_{k=0}^m</math> של <math>[a,b]</math>. לכל n מתקיים <math>v(f_n,P)=\sum_{k=1}^m |f_n(x_k)-f_n(x_{k-1})|\le M</math>. נשאיף <math>n\to\infty</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^m |f(x_k)-f(x_{k-1})|\le M</math> באופן בלתי תלוי ב-P. לכן <math>\overset b\underset aV f\le M</math>. {{משל}} | |
− | + | נעיר כי אם אין חסם עליון M להשתנויות הכלליות של סדרת הפונקציות אזי הטענה מופרכת: ברור שהפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&\text{else}\end{cases}</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר <math>f_n(x)=\begin{cases}0&0\le x\le\frac1{\pi n}\\x\sin\left(\frac1x\right)&\text{else}\end{cases}</math> לכל n. נעיר שלכל n יש ל-<math>f_n</math> השתנות חסומה. נוכיח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[0,1]</math>: עבור <math>\frac1{\pi n}<x\le 1</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=0</math> ואילו אם <math>0\le x\le\frac1{\pi n}</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|=|f(x)|=\left|x\sin\left(\frac1x\right)\right|\le |x|\le\frac1{\pi n}\to0</math> ולכן ההתכנסות במ"ש. | |
==דוגמה 6== | ==דוגמה 6== |
גרסה מ־18:54, 13 ביולי 2011
תוכן עניינים
חזרה
דוגמה 1
מתכנס?
פתרון
נציב ןמתכנס לפי דיריכלה.
דוגמה 2
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
עפ"י דלאמבר דורשים שמתקיים אם"ם .
דוגמה 3
לפונקציה g רציפה ב- נסמן . נניח ש- סדרת פונקציות רציפות, במ"ש ב-. הוכח או הפרך .
הוכחה
יהי נתון. קיים כך שלכל מתקיים לכל . לכן . מכאן ש- ולכן לכל מתקיים . כמו כן לכל ולכל מתקיים ולכן בנקודה המקסימלית של f מתקיים יוצא שלכל , . לכן ולכן .
דוגמה 4
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
הטור מתכנס עבור כל x כך ש- כלומר . ננחש שהגבול שואף ל- (לפי אינטואיציה) ולכן נרחיב את השבר ב-. אזי נחשב . הדרישה להתכנסות היא ש- ולכן .
דוגמה 5
היא סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב- כך שקיים כך שלכל n מתקיים . הוכח או הפרך: אם במ"ש ב- אז .
פתרון
הוכחה: ניקח חלוקה כלשהי של . לכל n מתקיים . נשאיף ולכן באופן בלתי תלוי ב-P. לכן .
נעיר כי אם אין חסם עליון M להשתנויות הכלליות של סדרת הפונקציות אזי הטענה מופרכת: ברור שהפונקציה רציפה ב- ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר לכל n. נעיר שלכל n יש ל- השתנות חסומה. נוכיח כי במ"ש ב-: עבור מתקיים ואילו אם מתקיים ולכן ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 6
מצאו טור מקלורין של .
פתרון
נפרק לשברים חלקיים ונקבל . מצקיים . מאידך ו-.
דוגמה 7
תהי f אינטגרבילית ב- ונגדיר . צ"ל של-F יש השתנות חסומה ב-.
פתרון
נקח חלוקה של ואז יש כאן חסם בלתי תלוי בחלוקה.
דוגמה 8
נגדיר סדרת פונקציות לכל באינדוקציה וכן .
- הוכח שלכל קיים .
- חשב את .
- האם ?
פתרון
- נקבע .
טענה 1: הסדרה עולה. הוכחה: וכן . טענה 2: הסדרה חסומה מלעיל. גישה: אז ולכן . מכאן ש-. טענה: לכל n מתקיים , הוכחה באינדוקציה: . כיוון שהסדרה עולה וחסומה קיים גבול ולפי השיקול הנ"ל מתקיים .
- מתקיים . נגזור . ננניח שאמנם אם כן ולכן בתנאי ש-. נוותר על הניסיון להוכיח זאת.
דוגמה 9
נתון טור פונקציות לכל . להראות שהטור מתכנס לפונקציה בעלת נגזרת רציפה.
פתרון
נעיר שבקטע הפונקציה עולה מונוטונית מ- עד . כעת אם אז יורד עם n ולכן יורד עם n. לכן עבור הטור הוא כאשר ו- יורדת מונוטונית ל-0. ממבחן לייבניץ הטור מתכנס. עבור הדיון דומה כי פונקציה אי-זוגית. הטור הגזור הוא . טענה: הטור הגזור מתכנס במ"ש על . הוכחה: לכל הטור טור לייבניץ ומתכנס, נניח ל-. לפי לייבניץ לכל . כיוון שההפרש המקסימלי בין לסכום החלקי שואף ל-0 נובע ממבחן ה-sup שהטור הגזור מתכנס במ"ש ל-g על . נובע ממשפט 10 בהתכנסות במ"ש של טורים שהטור המקורי מתכנס במ"ש לפונקציה f גזירה כך ש- לכל . הטור האחרון הוא סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש, לכן g רציפה ב-.
משפט
אם ואם במ"ש I אז מתכנס במ"ש ב-I. (ההוכחה כמו בדוגמה הקודמת)
דוגמה 10
מתכנס או מתבדר - .
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים אזי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): a_n=\left[-\frac{\cos(n^2t)}{n^2t}\right]_{t=1}^2-\int\limits_1^2\frac{-\cos(n^2t)}{-n^2t^2}\mathrm dt=\frac1{n^2}\left(\frac{-\cos(2n^2)}2+\cos(n^2)\right)-\int\limits_1^2\frac{\cos(n^2t){t^2}\mathrm dt . אזי ולפי מבחן ההשוואה מתכנס בהחלט.
דוגמה 11
נניח ש-F מוגדרת ובעלת נגזרת רציפה וחסומה ב-. עוד נניח ש- מתכנס. הוכיחו כי .
פתרון
ולכן מתכנס. כמו כן