הבדלים בין גרסאות בדף "88-101 חשיבה מתמטית קיץ תשעא/תרגילים"
(←שקילות) |
(←תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי) |
||
שורה 43: | שורה 43: | ||
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.) | (נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =תרגיל שני= | ||
+ | הגדרה: הגבול של הפונקציה f בנקודה x הינו L אם לכל סדרה <math>x_n</math> המתכנסת לx ושאבריה שונים מx מתקיים שהסדרה <math>f(x_n)</math> מתכנסת ל-L. | ||
+ | |||
+ | (הגדרת גבול של סדרה היא כפי שלמדנו בשיעור) | ||
+ | |||
+ | *הצרן את ההגדרה לעיל | ||
+ | *הצרן את השלילה להגדרה (כלומר, מתי L אינו גבול הפונקציה בנקודה x) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | יהי הפרדיקט <math>P(x,y)</math> האומר אדם x צעיר יותר מאדם y. ויהי הפרדיקט <math>Q(x)</math> האומר שאדם x הינו שמח. | ||
+ | |||
+ | הצרן את הטענות הבאות: | ||
+ | *מבין כל שלושה אנשים, הצעיר ביותר הוא שמח. | ||
+ | *מבין כל שלושה אנשים שמחים, לפחות שניים הם באותו גיל | ||
+ | *בכל זוג יש לפחות אדם אחד שמח. | ||
+ | *קיים זוג בו שני האנשים שמחים רק אם קיים זוג אחר בו שני האנשים עצובים | ||
+ | *יש רק אדם אחד עצוב | ||
+ | *יש אדם שהוא הכי מבוגר | ||
+ | *אם יש אדם שהוא הכי מבוגר, הוא שמח | ||
+ | |||
+ | (שאלות נוספות יוספו בקרוב) |
גרסה מ־05:57, 22 ביולי 2011
תוכן עניינים
תרגיל 1 להגשה ליום רביעי ה20 ביולי
הצרנות
- הצרן את הטענות הבאות (מותר לכם להשתמש בפרדיקטים סבירים, בתנאי שתגדירו אותם):
- לכל מספר ממשי יש מספר טבעי הגדול ממנו.
- אקסיומת האינדקוציה: אם פרידקט כלשהו אמיתי באחד () וכמו כן, העובדה שהוא אמיתי עבור n גוררת שהוא אמיתי עבור n+1 אזי הוא אמיתי תמיד.
- x הינו מספר ראשוני (מספר המתחלק רק בעצמו ובאחד).
- כל מספר ראשוני הינו סכום של מספרים זוגיים.
- קיימים אינסוף תאומים (תאומים הם זוג ראשוניים אשר ההפרש בינהם הינו שתים.)
קבוצות
הגדרה: איחוד של שתי קבוצות A וB הוא קבוצת האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. החיתוך הוא קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות.
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לאיחוד של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-a אינו שייך לחיתוך של הקבוצות A וB
הגדרה: קבוצה A מוכלת בקבוצה B אם בB נמצאים כל האיברים מA (למשל הטבעיים מוכלים בשלמים , והשלמים מוכלים בממשיים ).
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C מוכלת בחיתוך של A וB
- הצרן תנאי השקול לכך ש-C אינה מוכלת באיחוד של A וB
(מותר לכם להשתמש בכמתים באופן הבא )
שקילות
הגדרה: טענות שקולות אם ((כולן אמיתיות יחד) או (כולן שקריות יחד)).
- הוכח שמספיק להוכיח את הטענות הבאות על מנת להוכיח ש שקולות:
,
,
,
דרכי הוכחה
הוכח שהפסוקים הבאים הינם טאוטולוגיות:
(נהוג להחליף ביטויים מהצורה הזו בביטויים השקולים להם כי הם נוחים יותר להוכחה מידי פעם.)
תרגיל שני
הגדרה: הגבול של הפונקציה f בנקודה x הינו L אם לכל סדרה המתכנסת לx ושאבריה שונים מx מתקיים שהסדרה מתכנסת ל-L.
(הגדרת גבול של סדרה היא כפי שלמדנו בשיעור)
- הצרן את ההגדרה לעיל
- הצרן את השלילה להגדרה (כלומר, מתי L אינו גבול הפונקציה בנקודה x)
יהי הפרדיקט האומר אדם x צעיר יותר מאדם y. ויהי הפרדיקט האומר שאדם x הינו שמח.
הצרן את הטענות הבאות:
- מבין כל שלושה אנשים, הצעיר ביותר הוא שמח.
- מבין כל שלושה אנשים שמחים, לפחות שניים הם באותו גיל
- בכל זוג יש לפחות אדם אחד שמח.
- קיים זוג בו שני האנשים שמחים רק אם קיים זוג אחר בו שני האנשים עצובים
- יש רק אדם אחד עצוב
- יש אדם שהוא הכי מבוגר
- אם יש אדם שהוא הכי מבוגר, הוא שמח
(שאלות נוספות יוספו בקרוב)