הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
מ (←אינטגרלים) |
|||
שורה 44: | שורה 44: | ||
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>. | * אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>. | ||
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>. | * שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>. | ||
− | * תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית | + | * תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>. |
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>. | * תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>. | ||
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>. | * תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>. |
גרסה מ־13:21, 27 ביולי 2011
במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:
- הוא קבוע.
- פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור .
- אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: " חסומה" = " חסומה ב-").
- היא חלוקה של הקטע הנתון כך ש-.
- היא העדנה של .
- היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה כך ש- ו-.
אינטגרלים
- אם ו- קדומות ל- בנקודה כלשהי אז קיים כך ש-.
- אם חסומה ב- אזי .
- אם (כלומר, מתקבלת מ- ע"י הוספת נקודות) ו- חסומה בקטע אזי וכן .
- לכל חלוקה של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של ), אם חסומה בקטע אזי .
- לכל אינטגרבילית מתקיים .
- תהי חסומה. אזי וגם .
- נניח ש- חסומה. אינטגרבילית אם"ם .
- נניח ש- חסומה. אינטגרבילית אם"ם לכל קיימת חלוקה של כך ש-.
- אם רציפה אז אינטגרבילית.
- הכללה: אם רציפה וחסומה בקטע הפתוח אזי אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי אינטגרבילית.
- אם מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח ש-. אזי אינטגרבילית ב-, ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב-, ואם כן אז .
- הכללה: עבור כנ"ל ו- (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים .
- אם חסומה אז . יתר על כן, ו-.
- הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
- לינאריות: עבור אינטגרביליות מתקיים .
- מונוטוניות: אם אינטגרביליות וכן אזי .
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם אינטגרביליות ואי-שלילית אזי .
- הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם אינטגרבילית אז אינטגרבילית ו-.
- אם אינטגרבילית וחסומה אז .
- מקרה פרטי: אם ו- אינטגרבילית אז .
- מקרה פרטי: אם (פונקציה קבועה) אז .
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי אינטגרבילית ותהי כך ש-. אזי רציפה וכן לכל נקודה ב- שבה רציפה, קדומה ל- (כלומר, גזירה ב- ו-).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי רציפה. אזי .
- לכל רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי רציפות. אזי .
- שיטת ההצבה: .
- כל פונקציה רציונלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים כאשר ול- אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- אי-שלילית בין ל- סביב ציר ה- הוא .
- אם רציפה אז הממוצע שלה בקטע הוא .
- אם בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע הוא .
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של רציפה סביב ציר ה- בקטע הוא .
- תהא בעלת נגזרת -ית רציפה. אזי כאשר הוא פיתוח טיילור מסדר של והשארית היא עבור כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב .
- תהא בעלת נגזרת רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- תהא בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- תהא בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים ו- זוגי. אזי והשגיאה חסומה ע"י כאשר .
- תהיינה אינטגרביליות ב-. אזי אינטגרבילית ב- ומתקיים .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי אינטגרבילית ב- אם"ם אינטגרבילית ב- ואם כן .
- מונוטונית עולה ב-. אזי קיים אם"ם ואם כן .
- אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל, ואם לא אז .
- מבחן ההשוואה: נניח ש- אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אם מתכנס אז מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- עבור כלשהו. אזי מתכנס אם"ם מתכנס.
- הכללה: בפרט מתקיים .
- תהא מוגדרת ב-. קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אם אינטגרבילית בקטע אזי גם אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא רציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר . כמו כן תהא מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו-. אזי מתכנס.
- סכימה בחלקים: כאשר .
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש- סדרה מונוטונית כך ש-. אזי מתכנס.
- אם אינטגרביליות ב- אזי לכל מתקיים .
- עבור ו- אינטגרבילית מקומית ב-, אינטגרבילית בקטע אם"ם אינטגרבילית ב-, ואם כן .
- תהי מונוטונית ב-. אזי קיים אם"ם חסומה ב-.
- אם אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- אז אינטגרבילית ב- אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
- מבחן ההשוואה: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- וכן . אם מתכנס אזי מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וקיים . אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אם מתכנס אז מתכנס.