גרסה מ־10:13, 28 ביולי 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

$c$ הוא קבוע.
$f,g$ פונקציות.
הקטע הנתון הוא הקטע הסגור $[a,b]$ .
אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: " $f$ חסומה" = " $f$ חסומה ב- $[a,b]$ ").
$P$ היא חלוקה $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ של הקטע הנתון כך ש- $a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ .

$Q$ היא העדנה של $P$ .
$P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה $P$ כך ש- $\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]$ ו- $\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k$ .

אינטגרלים

אם $F$ ו- $G$ קדומות ל- $f$ בנקודה כלשהי אז קיים $c$ כך ש- $F(x)=G(x)+c$ .
אם $f$ חסומה ב- $[a,b]$ אזי $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$ .
אם $|Q|=|P|+r$ (כלומר, $Q$ מתקבלת מ- $P$ ע"י הוספת $r$ נקודות) ו- $f$ חסומה בקטע אזי $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ וכן $0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$ .
לכל חלוקה $Q$ של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של $P$ ), אם $f$ חסומה בקטע אזי $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$ .
לכל $f$ אינטגרבילית מתקיים $\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f$ .
תהי $f$ חסומה. אזי $\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וגם $\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$ .
נניח ש- $f$ חסומה. $f$ אינטגרבילית אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$ .
נניח ש- $f$ חסומה. $f$ אינטגרבילית אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ של $[a,b]$ כך ש- $\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$ .
אם $f$ רציפה אז $f$ אינטגרבילית.

הכללה: אם $f$ רציפה וחסומה בקטע הפתוח $(a,b)$ אזי $f$ אינטגרבילית.

הכללה להכללה: אם $f$ רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי $f$ אינטגרבילית.

אם $f$ מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
נניח ש- $a<c<b$ . אזי $f$ אינטגרבילית ב- $[a,b]$ , ב- $[a,c]$ וב- $[c,b]$ אם"ם היא אינטגרבילית ב- $[a,b]$ , ואם כן אז $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ .

הכללה: עבור $f$ כנ"ל ו- $a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$ .

אם $f$ חסומה אז $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$ . יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')$ ו- $\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')$ .
הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
לינאריות: עבור $f,g$ אינטגרביליות מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .
מונוטוניות: אם $f,g$ אינטגרביליות וכן $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)$ אזי $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$ .

חיוביות: בפרט מתקיים שאם $f$ אינטגרביליות ואי-שלילית אזי $\int\limits_a^b f\ge0$ .

הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם $|f|$ אינטגרבילית אז $f$ אינטגרבילית ו- $\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$ .
אם $f$ אינטגרבילית וחסומה אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$ .

מקרה פרטי: אם $\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$ ו- $f$ אינטגרבילית אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$ .

מקרה פרטי: אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f=M(b-a)$ .

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי $f$ אינטגרבילית ותהי $F$ כך ש- $\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f$ . אזי $F$ רציפה וכן לכל נקודה ב- $[a,b]$ שבה $f$ רציפה, $F$ קדומה ל- $f$ (כלומר, $F$ גזירה ב- $[a,b]$ ו- $F'=f$ ).
נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי $f$ רציפה. אזי $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$ .
לכל $f$ רציפה יש פונקציה קדומה.
אינטגרציה בחלקים: נניח כי $f',g'$ רציפות. אזי $\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$ .

$\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g$

שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}$ .

$\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)$

כל פונקציה רציונלית $\frac pq$ כך ש- $\deg(p)<\deg(q)$ ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים $\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}$ כאשר $A,B,C,x_0\in\mathbb R$ ול- $x^2+bx+c$ אין שורשים ממשיים.
נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- $f$ אי-שלילית בין $a$ ל- $b$ סביב ציר ה- $x$ הוא $\int\limits_a^b \pi f^2$ .
אם $f$ רציפה אז הממוצע שלה בקטע $[a,b]$ הוא $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$ .
אם $f$ בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ .
שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של $f$ רציפה סביב ציר ה- $x$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$ .
תהא $f$ בעלת נגזרת $n$ -ית רציפה. אזי $\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n$ כאשר $P_n$ הוא פיתוח טיילור מסדר $n$ של $f$ והשארית היא $\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}$ עבור $\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}$ כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב $x_0$ .
תהא $f$ בעלת נגזרת רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$ . אזי $\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)$ והשארית חסומה ע"י $\frac{b-a}2Mh$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|$ .
תהא $f$ בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$ . אזי $\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)$ והשארית חסומה ע"י $\frac5{12}(b-a)Mh^2$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|$ .
תהא $f$ בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$ ו- $n$ זוגי. אזי $\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)$ והשגיאה חסומה ע"י $\frac{b-a}{180}Mh^4$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|$ .
תהיינה $f,g$ אינטגרביליות ב- $[a,\infty)$ . אזי $f+cg$ אינטגרבילית ב- $[a,\infty)$ ומתקיים $\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g$ .
תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ ויהי $b>a$ . אזי $f$ אינטגרבילית ב- $[a,\infty)$ אם"ם $f$ אינטגרבילית ב- $[b,\infty)$ ואם כן $\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f$ .
$f$ מונוטונית עולה ב- $[a,\infty)$ . אזי $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם $\sup_x f(x)<\infty$ ואם כן $\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)$ .
$f$ אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ . אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^R f$ חסומים מלעיל, ואם לא אז $\int\limits_a^\infty f=\infty$ .
מבחן ההשוואה: נניח ש- $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- $[a,\infty)$ וכן $\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)$ . אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- $[a,\infty)$ וכן $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R$ . אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

המבחן האינטגרלי לטורים: תהא $f$ אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- $[k,\infty)$ עבור $k\in\mathbb N$ כלשהו. אזי $\int\limits_k^\infty f$ מתכנס אם"ם $\sum_{n=k}^\infty f(n)$ מתכנס.

הכללה: בפרט מתקיים $\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)$ .

תהא $f$ מוגדרת ב- $[a,\infty)$ . $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ . אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$ .
תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ . אם $|f|$ אינטגרבילית בקטע אזי גם $f$ אינטגרבילית בו.
מבחן דיריכלה: תהא $f$ רציפה ב- $[a,\infty)$ ונניח שהאינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^b f$ חסומים כאשר $b\to\infty$ . כמו כן תהא $g$ מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- $[a,\infty)$ ו- $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$ . אזי $\int\limits_a^\infty f\cdot g$ מתכנס.
סכימה בחלקים: $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ כאשר $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ .
משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור $\sum_{n=1}^N a_n$ יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש- $\{b_n\}$ סדרה מונוטונית כך ש- $b_n\to0$ . אזי $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס.
אם $f,g$ אינטגרביליות ב- $(a,b]$ אזי לכל $c$ מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .
עבור $a<c<b$ ו- $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $(a,b]$ , $f$ אינטגרבילית בקטע אם"ם $f$ אינטגרבילית ב- $(a,c]$ , ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f$ .
תהי $f$ מונוטונית ב- $(a,b]$ . אזי $\lim_{x\to a^+}f(x)$ קיים אם"ם $f$ חסומה ב- $(a,b]$ .
אם $f$ אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- $(a,b]$ אז $f$ אינטגרבילית ב- $(a,b]$ אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$ .
מבחן ההשוואה: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- $(a,b]$ וכן $\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)$ . אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אזי $\int\limits_a^b f$ מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- $(a,b]$ וקיים $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$ . אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $(a,b]$ . אזי $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon$ .
תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב- $(a,b]$ . אם $\int\limits_a^b |f|$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

@@ שורה 64: / שורה 64: @@
 * '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
 * אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
-* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.
+* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math>.
 * תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב-<math>(a,b]</math>.
 * אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

גרסה מ־10:13, 28 ביולי 2011

אינטגרלים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים