הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==מטריצות מייצגות== '''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<mat...") |
(←מטריצות מייצגות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
'''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<math>V,W</math> בהתאמה. נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. אזי '''המטריצה המייצגת''' את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים | '''הגדרה.''' תהי <math>T:V\rightarrow W</math> העתקה לינארית, ויהיו <math>E,F</math> בסיסים ל<math>V,W</math> בהתאמה. נסמן <math>E=\{v_1,...,v_n\}</math>. אזי '''המטריצה המייצגת''' את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים | ||
+ | |||
+ | |||
<math>[T]^E_F =\begin{pmatrix} | <math>[T]^E_F =\begin{pmatrix} | ||
שורה 16: | שורה 18: | ||
'''הערה:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math>. | '''הערה:''' שימו לב שאם ניקח את הוקטורים <math>Tv_1,...,Tv_n</math> ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל <math>[T]^E_S</math>. | ||
+ | |||
+ | ===אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם=== | ||
+ | |||
+ | יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי: | ||
+ | |||
+ | # מצא את מטריצה המעבר <math>[I]^F_S</math> (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות) | ||
+ | # הפוך אותה על מנת לקבל את <math>[I]^S_F</math> | ||
+ | # הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל <math>Tv_1,...,Tv_n</math> | ||
+ | # שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה <math>[T]^E_S</math> | ||
+ | # כפול מטריצות על מנת לקבל <math>[T]^E_F=[I]^S_F[T]^E_S</math> | ||
+ | |||
+ | ===אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד=== | ||
+ | תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math>. רוצים למצוא את <math>Tv</math> עבור <math>v\in V</math> וקטור כלשהו. | ||
+ | |||
+ | #נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את <math>[T]^E_S</math>. | ||
+ | #נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל <math>[T]=[T]^S_S=[T]^E_S[I]^S_E</math> | ||
+ | #<math>[T][v]=[Tv]</math> מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמאות=== |
גרסה מ־06:55, 12 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
מטריצות מייצגות
הגדרה. תהי העתקה לינארית, ויהיו בסיסים ל בהתאמה. נסמן . אזי המטריצה המייצגת את T מבסיס E לבסיס F הינה המטריצה שעמודותיה הן הקואורדינטות לפי הבסיס F של התמונות של איברי הבסיס E מסמנים
לכל וקטור מתקיים ש
הערה: שימו לב שאם ניקח את הוקטורים ונשים אותם באופן נאיבי בעמודות מטריצה נקבל .
אלגוריתם למציאת מטריצה המייצגת את העתקה בין בסיסים כלשהם
יהיו מ"ו V,W והעתקה T בינהם ובסיסים E,F בדיוק כמו בהגדרה לעיל. אזי:
- מצא את מטריצה המעבר (קל, לשים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של איברי F בעמודות)
- הפוך אותה על מנת לקבל את
- הפעל את ההעתקה T על איברי הבסיס E לקבל
- שים את הקואורדינטות לפי הבסיס הסטנדרטי של התמונות משלב שלוש בעמודות מטריצה
- כפול מטריצות על מנת לקבל
אלגוריתם למציאת העתקה מפורשת לפי תמונות איברי הבסיס בלבד
תהי T העתקה לינארית הנתונה על ידי התמונות של איברי בסיס . רוצים למצוא את עבור וקטור כלשהו.
- נבצע את האלגוריתם לעיל על מנת למצוא את .
- נכפול במטריצת המעבר על מנת לקבל
- מכיוון שכל אלא בבסיס הסטנדרטי, נכפול בוקטור כללי מהמרחב על מנת למצוא לאן הוא נשלח במפורש.