הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.7.11"
(←דוגמה 5) |
(←פתרון: תיקון ראשוני) |
||
שורה 65: | שורה 65: | ||
מתכנס או מתבדר - <math>\sum_{n=1}^\infty \int\limits_1^2\frac{\sin(n^2t)}t \mathrm dt</math>. | מתכנס או מתבדר - <math>\sum_{n=1}^\infty \int\limits_1^2\frac{\sin(n^2t)}t \mathrm dt</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נעזר באינטגרציה בחלקים <math>a_n=\int\limits_1^2\frac{\sin(n^2t)}t \mathrm dt</math> אזי <math>a_n=\left[-\frac{\cos(n^2t)}{n^2t}\right]_{t=1}^2-\int\limits_1^2\frac{-\cos(n^2t)}{-n^2t^2}\mathrm dt=\frac1{n^2}\left(\frac{-\cos(2n^2)}2+\cos(n^2)\right)-\int\limits_1^2\frac{\cos(n^2t){t^2}\mathrm dt</math>. אזי <math>|a_n|\le\frac1{n^2}\left(\frac12+1+1\right)<\frac3{n^2}</math> ולפי מבחן ההשוואה <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט. | + | נעזר באינטגרציה בחלקים <math>a_n=\int\limits_1^2\frac{\sin(n^2t)}t \mathrm dt</math> אזי <math>a_n=\left[-\frac{\cos(n^2t)}{n^2t}\right]_{t=1}^2-\int\limits_1^2\frac{-\cos(n^2t)}{-n^2t^2}\mathrm dt=\frac1{n^2}\left(\frac{-\cos(2n^2)}2+\cos(n^2)\right)-\int\limits_1^2\frac{\cos(n^2t)}{t^2}\mathrm dt</math>. אזי <math>|a_n|\le\frac1{n^2}\left(\frac12+1+1\right)<\frac3{n^2}</math> ולפי מבחן ההשוואה <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט. |
==דוגמה 11== | ==דוגמה 11== |
גרסה אחרונה מ־19:49, 30 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
חזרה
דוגמה 1
מתכנס?
פתרון
נציב ןמתכנס לפי דיריכלה.
דוגמה 2
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
עפ"י דלאמבר דורשים שמתקיים אם"ם .
דוגמה 3
לפונקציה g רציפה ב- נסמן . נניח ש- סדרת פונקציות רציפות, במ"ש ב-. הוכח או הפרך .
הוכחה
יהי נתון. קיים כך שלכל מתקיים לכל . לכן . מכאן ש- ולכן לכל מתקיים . כמו כן לכל ולכל מתקיים ולכן בנקודה המקסימלית של f מתקיים יוצא שלכל , . לכן ולכן .
דוגמה 4
מצאו רדיוס התכנסות של .
פתרון
הטור מתכנס עבור כל x כך ש- כלומר . ננחש שהגבול שואף ל- (לפי אינטואיציה) ולכן נרחיב את השבר ב-. אזי נחשב . הדרישה להתכנסות היא ש- ולכן .
דוגמה 5
היא סדרת פונקציות בעלות השתנות חסומה ב- כך שקיים כך שלכל n מתקיים . הוכח או הפרך: אם במ"ש ב- אז .
פתרון
הוכחה: ניקח חלוקה כלשהי של . לכל n מתקיים . נשאיף ולכן באופן בלתי תלוי ב-P. לכן .
נעיר כי אם אין חסם עליון M להשתנויות הכלליות של סדרת הפונקציות אזי הטענה מופרכת: ברור שהפונקציה רציפה ב- ובעלת השתנות בלתי חסומה בקטע. נגדיר לכל n. נעיר שלכל n יש ל- השתנות חסומה. נוכיח כי במ"ש ב-: עבור מתקיים ואילו אם מתקיים ולכן ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 6
מצאו טור מקלורין של .
פתרון
נפרק לשברים חלקיים ונקבל . מצקיים . מאידך ו-.
דוגמה 7
תהי f אינטגרבילית ב- ונגדיר . צ"ל של-F יש השתנות חסומה ב-.
פתרון
נקח חלוקה של ואז יש כאן חסם בלתי תלוי בחלוקה.
דוגמה 8
נגדיר סדרת פונקציות לכל באינדוקציה וכן .
- הוכח שלכל קיים .
- חשב את .
- האם ?
פתרון
- נקבע .
טענה 1: הסדרה עולה. הוכחה: וכן . טענה 2: הסדרה חסומה מלעיל. גישה: אז ולכן . מכאן ש-. טענה: לכל n מתקיים , הוכחה באינדוקציה: . כיוון שהסדרה עולה וחסומה קיים גבול ולפי השיקול הנ"ל מתקיים .
- מתקיים . נגזור . ננניח שאמנם אם כן ולכן בתנאי ש-. נוותר על הניסיון להוכיח זאת.
דוגמה 9
נתון טור פונקציות לכל . להראות שהטור מתכנס לפונקציה בעלת נגזרת רציפה.
פתרון
נעיר שבקטע הפונקציה עולה מונוטונית מ- עד . כעת אם אז יורד עם n ולכן יורד עם n. לכן עבור הטור הוא כאשר ו- יורדת מונוטונית ל-0. ממבחן לייבניץ הטור מתכנס. עבור הדיון דומה כי פונקציה אי-זוגית. הטור הגזור הוא . טענה: הטור הגזור מתכנס במ"ש על . הוכחה: לכל הטור טור לייבניץ ומתכנס, נניח ל-. לפי לייבניץ לכל . כיוון שההפרש המקסימלי בין לסכום החלקי שואף ל-0 נובע ממבחן ה-sup שהטור הגזור מתכנס במ"ש ל-g על . נובע ממשפט 10 בהתכנסות במ"ש של טורים שהטור המקורי מתכנס במ"ש לפונקציה f גזירה כך ש- לכל . הטור האחרון הוא סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש, לכן g רציפה ב-.
משפט
אם ואם במ"ש I אז מתכנס במ"ש ב-I. (ההוכחה כמו בדוגמה הקודמת)
דוגמה 10
מתכנס או מתבדר - .
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים אזי . אזי ולפי מבחן ההשוואה מתכנס בהחלט.
דוגמה 11
נניח ש-F מוגדרת ובעלת נגזרת רציפה וחסומה ב-. עוד נניח ש- מתכנס. הוכיחו כי .
פתרון
ולכן מתכנס. כמו כן