הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון אורתוגונלי"
מתוך Math-Wiki
(←××××ר×ת×) |
מ (שוחזר מעריכות של 31.196.71.74 (שיחה) לעריכה האחרונה של ארז שיינר) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=לכסון אורתוגונלי= | =לכסון אורתוגונלי= | ||
− | + | ==אלגוריתם== | |
+ | * מצא את הע"ע של המטריצה A | ||
+ | * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A | ||
+ | ** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A | ||
+ | ** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי | ||
+ | * שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית. | ||
+ | *<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית | ||
==הוכחה לאלגוריתם== | ==הוכחה לאלגוריתם== |
גרסה מ־17:49, 2 בספטמבר 2011
לכסון אורתוגונלי
אלגוריתם
- מצא את הע"ע של המטריצה A
- מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
- שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
- הינה מטריצה אלכסונית
הוכחה לאלגוריתם
- ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית
- ידוע שאם P אורתוגונלית אזי
- נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית.
טענה
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית
הוכחה
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן ולכן (כי D אלכסונית).
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).
לכן, ולכן אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר ולכן בהכרח כלומר הם מאונכים.
- לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
- לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
- מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
- לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
- לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
- לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
- אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
- בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.