גרסה מ־18:35, 15 בספטמבר 2011

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו $w_1,...,w_n$ וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה $T:V\rightarrow W$ המקיימת:

$Tv_1=w_1$

$Tv_2=w_2$

\vdots

$Tv_n=w_n$

יהי $v\in V$ אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

v=a_1v_1+...+a_nv_n

.

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

Tv=a_1w_1+...+a_nw_n

.

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר $Tv_i=w_i$ ).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר $Sv_i=w_i$ ), מתקיים:

\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv

ולכן S=T.

@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 =הוכחה=
+יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
+::<math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
+לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
+::<math>Tv=a_1w_1+...+a_nw_n</math>.
+קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
+נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
+::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>
+ולכן S=T.