הבדלים בין גרסאות בדף "משפט הדרגה"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "=משפט הדרגה= יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים: ::<math>di...") |
(←הוכחה) |
||
שורה 5: | שורה 5: | ||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
+ | נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,...,v_k\}</math>. | ||
+ | |||
+ | נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}</math>. | ||
+ | |||
+ | נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט. | ||
+ | |||
+ | ===E פורש את ImT=== | ||
+ | כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס. | ||
+ | |||
+ | לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T. | ||
+ | |||
+ | כלומר, <math>ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ברור כי <math>Tv_1=...=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...,v_k</math> להיות בסיס לגרעין). | ||
+ | |||
+ | לכן מתקיים <math>ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}</math>. | ||
+ | |||
+ | ===E בת"ל=== | ||
+ | |||
+ | ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E: | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש: | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math> | ||
+ | |||
+ | נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס | ||
+ | |||
+ | לכן E בת"ל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===ספירת מימדים וסיכום=== | ||
+ | הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין. | ||
+ | |||
+ | ::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math> |
גרסה מ־18:47, 15 בספטמבר 2011
משפט הדרגה
יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית . אזי מתקיים:
הוכחה
נסמן את הבסיס לגרעין ב-.
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- .
נוכיח כי בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
E פורש את ImT
כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.
כלומר, .
ברור כי (הרי בחרנו את להיות בסיס לגרעין).
לכן מתקיים .
E בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:
לכן
לכן
ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס
לכן E בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.