הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏התכנסות במובן הרחב)
(←‏הגדרת הגבול)
שורה 20: שורה 20:
 
תהי <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.
 
תהי <math>a_n</math> סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי <math>L\in\mathbb{R}</math> נקרא '''גבול''' הסדרה <math>a_n</math> אם לכל <math>0<\epsilon\in\mathbb{R}</math> קיים <math>N_{\epsilon}\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math>.
  
 +
 +
במקרה זה מסמנים <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L</math>
  
 
====הסבר ההגדרה====
 
====הסבר ההגדרה====

גרסה מ־05:54, 2 בנובמבר 2011

חזרה לסדרות

גבול של סדרה

ההגדרה המדוייקת של סדרה

בבדידה נלמד/למדנו את ההגדרה המדוייקת של פונקציה. סדרה הינה פונקציה מקבוצת הטבעיים אל קבוצה כלשהי. סדרה ממשית, למשל, הינה פונקציה מהטבעיים אל הממשיים.

באופן טבעי, התמונה של המספר הטבעי 1 נקראת האיבר הראשון של הסדרה, התמונה של 2 היא האיבר השני וכן הלאה.

גבול של סדרה

תהי סדרת מספרים ממשיים \{a_n\}_1^{\infty}=a_1,a_2,a_3,..., (כך ש a_1,a_2,a_3,...\in\mathbb{R}).

לדוגמא:

\{\frac{1}{2^n}\}_1^{\infty}=\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...

גבול של סדרה הוא נקודה ממשית אליה איברי הסדרה מתקרבים. לסדרה שלא מתקרבת לנקודה ספציפית אין גבול, למשל: 0,1,0,1,0,... (לסדרה זו אין גבול). נגדיר את מושג הגבול באופן מדוייק:

הגדרת הגבול

תהי a_n סדרה של מספרים ממשיים. אזי מספר ממשי L\in\mathbb{R} נקרא גבול הסדרה a_n אם לכל 0<\epsilon\in\mathbb{R} קיים N_{\epsilon}\in\mathbb{N} כך שלכל n>N_{\epsilon} מתקיים |a_n-L|<\epsilon.


במקרה זה מסמנים \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L

הסבר ההגדרה

נתרגם את זה למילים. למדנו ש\epsilon>0 מודד אורך, מספר טבעי N_{\epsilon}\in\mathbb{N} מסמל מקום בסדרה, וערך מוחלט של הפרש מודד מרחק בין שני האיברים. בנוסף למדנו על המשפט הלוגי 'לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'. עכשיו נרשום את הגדרת הגבול במילים:


נקודה L על ציר המספרים הממשיים היא גבול הסדרה a_n

אם לכל אורך (\epsilon>0) [סיר]

קיים מקום בסדרה (N_{\epsilon}\in\mathbb{N}) [מכסה]

כך שהחל ממנו והלאה (לכל n>N_{\epsilon}) מתקיים שהמרחק בין איברי הסדרה לבין הנקודה L קטן מהאורך \epsilon (|a_n-L|<\epsilon) [מתאים לו]

דוגמאות

תרגיל. מצא את גבול הסדרה \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n-1}{n}

פתרון. מהתבוננות באיברים הראשונים של הסדרה אנו מנחשים שגבול הסדרה הינו 1. נוכיח זאת.

יהי אפסילון גדול מאפס. (הוכחה באינפי מתחילה בשורה זו לעיתים תכופות. מכיוון שההגדרות דורשות שתכונה מסוימת תתקיים לכל אפסילון, אם נוכיח אותה לאפסילון מבלי להתייחס לערך שלו, הוכחנו שהיא נכונה תמיד.)

כעת, אנו רוצים למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה איברי הסדרה קרובים לאחד עד כדי אפסילון. כלומר:

|\frac{n-1}{n}-1|<\epsilon

נפתח את הביטוי.

|\frac{n-1}{n}-1|=|\frac{-1}{n}|=\frac{1}{n}

כעת, אנו מעוניינים כי יתקיים \frac{1}{n}<\epsilon, זה נכון אם"ם n>\frac{1}{\epsilon}


נבחר, אפוא, N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon} כלשהו (מותר כיוון שאחרת המספרים הטבעיים היו חסומים, וידוע שאין חסם עליון למספרים הטבעיים). לכן ברור כי לכל n>N_{\epsilon} מתקיים n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon} ולכן איברי הסדרה קרובים ל-1 עד כדי אפסילון כפי שרצינו.

שלילת גבול

שלילת הגבול.

L אינו גבול של סדרה אם קיים \epsilon>0 כך שלכל N\in\mathbb{N} קיים n>N כך ש |a_n-L|\geq\epsilon


תרגיל. הוכח שלסדרה a_n=(-1)^n לא קיים גבול

נניח בשלילה שקיים גבול L ממשי כלשהו. נניח עוד כי L אי שלילי (ההוכחה עבור השליליים תהא דומה). ניקח \epsilon = 1 (הרי צריך להוכיח כי קיים אפסילון). כעת, יהי N\in\mathbb{N} ניקח n אי זוגי גדול ממנו. במקרה זה |a_n-L|=|-1-L|=1+L\geq 1=\epsilon כפי שרצינו. (שימו לב שהורדנו את הערך המוחלט בעזרת ההנחה כי L אינו שלילי.)

אריתמטיקה (חשבון) של גבולות

משפט. תהי a_n\rightarrow L (סדרה השואפת לגבול L) ותהי b_n\rightarrow K אזי:

  • \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=L+K
  • \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=L\cdot K
  • אם K\neq 0 אזי \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{K}

התכנסות במובן הרחב

דיברנו עד כה על התכנסות סדרה לגבול סופי מסויים. מה לגבי סדרות השואפות לאינסוף? אנו מעוניים להבדיל אותן מסדרות כפי שראינו לעיל שאינן מתקרבות לשום כיוון מסויים.

הגדרה. תהא a_n סדרה. אזי אומרים כי הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף אם לכל M>0 קיים N_M\in\mathbb{N} כך שלכל n>N_M מתקיים a_n>M

הערה: שימו לב ש-M בדומה לאפסילון מודד מרחק, אך מכיוון שההגבלה כאן היא חמורה יותר כאשר המרחק גדול (בניגוד לקטן) אנו מסמנים מרחק זה באות M ולא באות אפסילון. אנחנו נשמור על מתכונת זו לאורך הקורס.

ההגדרה להתכנסות במובן הרחב למינוס אינסוף דומה עם שינויים קלים בהתאם.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעב/מערך_תרגול/סדרות/גבול&oldid=15537