הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 3"
מתוך Math-Wiki
(←שיטה ראשונה (טרטליה)) |
|||
שורה 13: | שורה 13: | ||
== שיטה ראשונה (טרטליה) == | == שיטה ראשונה (טרטליה) == | ||
− | נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p</math>. | + | נחפש <math>u,v</math> כך שיתקיים <math>u^3+v^3=-q</math> ו-<math>uv=-p/3</math>. |
'''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה. | '''טענה:''' במצב זה, <math>y=u+v</math> הוא שורש של המשוואה. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' נציב ונבדוק: | ||
+ | |||
+ | <math>y^3+py+q=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=-q-p(u+v)+p(u+v)+q=0</math> | ||
+ | |||
+ | מש"ל. |
גרסה מ־16:27, 22 בנובמבר 2011
הדרך לפתרון משוואה ממעלה 3 מיוחסת לטרטליה (Tartaglia). אנו נציג שתי שיטות למצוא שורש כלשהו של המשוואה. מציאת השורשים האחרים תוסבר בסוף.
הערה: השיטה עובדת מעל כל שדה שהמאפיין שלו אינו 2 או 3.
לפני שמתחילים
בהינתן משוואה ניתן להציב . המשוואה שתתקבל מההצבה תהייה מהצורה עבור מספרים כלשהם. ברור כי מספיק לפתור את המשוואה ב- כי הוא פיתרון אם ורק אם הוא פיתרון של המשוואה ב-.
לכן, מעכשיו נניח שהמשוואה שלנו היא מהצורה .
הערה: אם מסיבה כזו או אחרת אתם יכולים לזהות בקלות שורש של המשוואה (לדוגמא, אם או ), אל תשתמשו בשיטות לעיל. הן עלולות להיכשל בגלל חלוקה ב-0.
שיטה ראשונה (טרטליה)
נחפש כך שיתקיים ו-.
טענה: במצב זה, הוא שורש של המשוואה.
הוכחה: נציב ונבדוק:
מש"ל.