הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(←איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
== הרחבות של שדות == | == הרחבות של שדות == | ||
שורה 49: | שורה 48: | ||
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | ||
+ | |||
+ | == איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | ||
+ | |||
+ | '''טענת עזר:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in K</math> אלגבריים. אזי <math>F[a,b]/F</math> הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-<math>[F[a,b]:F]<\infty</math>. מתקיים <math>[F[a,b]:F]=[F[a,b]:F[a]]\cdot [F[a]:F]</math> ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה <math>[F[a]:F]<\infty</math> כי <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>b</math> אלגברי מעל <math>F</math> ולכן גם מעל <math>F[a]</math>. כעת, אותה טענה גם אומרת כי <math>[F[a,b]:F[a]]<\infty</math> ולכן גמרנו. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a,b\in F</math> אלגבריים מעל <math>F</math>, אז גם <math>ab,a+b</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' בהנחות של המסקנה, אם <math>a\neq 0</math> אז גם <math>a^{-1}</math> אלגברי. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. |
גרסה מ־15:52, 24 בנובמבר 2011
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם . באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי. היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו- תת שדות של . הקומפוזיטום של הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את . הוא יסומן ב-.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .
דוגמא: הוא אלגברי מעל כי הוא מאפס את . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים הם טרנסצנדנטיים מעל .
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- (וגם ב-) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי שדה השברים של . קל לבדוק כי טרנסצנדנטי מעל . למעשה, כל איבר ב- הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו- אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב- אלגברי מעל .
סימון: תהי הרחבת שדות ו-. מסמנים .
טענה: תהי הרחבת שדות ו-. אזי אלגברי מעל אם ורק אם המימד של כמרחב וקטורי מעל סופי. במקרה זה שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה היא בגודל ולכן תלויה לינארית מעל . לכן קיימים , לא כולם 0, כך ש-. אם נגדיר אז ובעצם הראינו . לכן אלגברי מעל .
כוון שני: נניח שקיים כך ש-. נסמן . מספיק להראות ש- קבוצה פורשת (מעל ) ל-. יהי אזי עבור כלשהו. קיימים פולינומים כך ש- וגם . אזי ו- כי .
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש- הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו- שדה כך ש-. אזי שדה. [רמז: לכל ההעתקה היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל . הראו כי שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את ואת . (הערה: מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י . קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות, אלגבריים מעל ו-. הוכיחו כי הקומפוזיטום של ו- הוא .
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים. אזי הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה כי אלגברי מעל . בנוסף, אלגברי מעל ולכן גם מעל . כעת, אותה טענה גם אומרת כי ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל , אז גם אלגבריים מעל .
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב- את כל האיברים ב- שאלגבריים מעל . אזי שדה. למעשה, הוא תת השדה הגדול ביותר של שאלגברי מעל .