הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"
מתוך Math-Wiki
(←המספר e) |
(←תכונות) |
||
שורה 45: | שורה 45: | ||
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math> | ::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math> | ||
+ | |||
לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה. | לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה. | ||
+ | |||
+ | נסמן | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | רוצים להוכיח | ||
+ | |||
+ | ::<math>a_{n+1}<a_n</math> | ||
+ | |||
+ | כלומר | ||
+ | |||
+ | ::<math>\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+2}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math> |
גרסה מ־21:16, 19 בינואר 2012
המספר e
הוכחנו בהרצאה כי לסדרה יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיוון ש אנו מקבלים כי
תכונות
לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
הוכחה:
e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.
כמו כן:
לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר