הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 31: | שורה 31: | ||
=== סעיף ב'=== | === סעיף ב'=== | ||
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. | כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} \in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0})</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0})</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. | ||
− | בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים | + | בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח: |
− | + | ||
+ | <math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math> |
גרסה מ־11:07, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח: