הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב"
(←שאלה 5) |
(←שאלה 3) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math> | ב.<math>\sum_{n=1}^{\infty}( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | |||
+ | א. | ||
+ | |||
+ | נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum 2^n\frac{1}{2^n\sqrt[3]{ln(2^n)}}=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}\sqrt[3]{ln(2)}}</math> | ||
+ | |||
+ | וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד. | ||
+ | |||
+ | ב. | ||
+ | |||
+ | <math>\sum( \sqrt{n} - \sqrt{n-1})^{\frac{3n+2}{n+6}}=\sum \Big(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\Big)^{3-\frac{16}{n+6}}</math> | ||
+ | |||
+ | וזה קטן או שווה לטור '''המתכנס''': | ||
+ | |||
+ | ::<math>\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}</math> | ||
=שאלה 4= | =שאלה 4= |
גרסה מ־20:55, 19 באפריל 2012
שאלה 1
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
שאלה 2
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.
א.
ב.
שאלה 3
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:
א.
ב.
פתרון
א.
נפעיל את מבחן העיבוי לקבל שהטור חבר של
וזה כמובן טור מתבדר כיוון ששליש קטן מאחד.
ב.
וזה קטן או שווה לטור המתכנס:
שאלה 4
א.
הוכיחו שאם מוגדרת ורציפה בכל , אז עבור כל מתקיים .
ב.
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל מתקיים ובכל זאת אינה רציפה בכל .
פתרון
א.
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה מתקיים .
לכן, לכל סדרה מתקיים ולכן . באופן דומה מקבלים וקיבלנו את הדרוש.
ב.
ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.
שאלה 5
הוכיחו שקיימים מספרים כך ש-.
פתרון
בכל קטע מהצורה הפונקציה tan שואפת לאינסוף בקצה הימני של הקטע, ולמינוס אינסוף בקצה השמאלי.
הפונקציה x חסומה בכל קטע מהצורה הזו, ולכן קל להראות שהפונקציה מקבלת ערך שלילי קרוב לקצה השמאלי, וערך חיובי קרוב לקצה הימני ולפי משפט ערך הביניים מקבל אפס בקטע, כפי שרצינו.
שאלה 6
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה לחשב את עם טעות קטנה מ-.