הבדלים בין גרסאות בדף "אורך עקומה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "300px תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור <math>[a,b]</math>. נקרב את א...")
(אין הבדלים)

גרסה מ־18:41, 28 באפריל 2012

קירוב אורך גרף.png

תהי f פונקציה גזירה ברציפות בקטע סגור [a,b]. נקרב את אורך העקומה שלה (אורך הקו שלה בגרף) על ידי גבול סכום המיתרים בין נקודות הפונקציה על חלוקות (סכום הקוים הכחולים בציור).

עבור חלוקת הקטע P=\{x_0,...,x_n\} הנוסחא לסכום המיתרים נתונה על ידי:

\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}


כאשר הנקודות c_k מקיימות \forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k). אכן קיימות נקודות כאלה לפי משפט לגראנז'.


הגענו לסכום רימן עבור הפונקציה \sqrt{1+f'(x)^2}. כיוון שנתון כי f'(x) רציפה, גם \sqrt{1+f'(x)^2} רציפה בקטע הסגור ולכן אינטגרבילית.

על כן סכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx וזוהי הנוסחא לחישוב אורך עקום של פונקציה.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אורך_עקומה&oldid=22096