הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11"
מ |
מ (←הוכחת הלמה) |
||
שורה 41: | שורה 41: | ||
=====הוכחת הלמה===== | =====הוכחת הלמה===== | ||
− | # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T | + | # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T<\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}} |
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | # מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | ||
גרסה אחרונה מ־16:31, 13 ביוני 2012
תוכן עניינים
השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי חלוקה של (). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-. כמו כן נגדיר את , המסומן גם כ- ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור . אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-.
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-.
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- ונגדיר לכל נקודה ב-. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של שנקודותיה הן . לכן
g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||||||
הטורים הללו טלסקופיים: |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן .
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב- כך ש-.
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן . כמו כן נגדיר לכל x את ו-. לכן תמיד ומתקיים ו-. עתה נגדיר ו-. לכן . עוד נגדיר ו-. נסמן ו-, לכן מתקיים ו-. נעיר שלכל Q מתקיים ולפיכך . לבסוף, נשים לב ש- (כי ולכן ).
למה
בסימונים הנ"ל:
הוכחת הלמה
- מתקיים נסיק ש- ולכן . הראנו כבר ש- ולכן מותר להעביר אגף: . כמו כן נסיק ש- ולכן . עתה נעביר אגף לקבל ולכן .
- מתקיים . נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל . כבר הראנו ש- ולכן .
הוכחה
לכל נגדיר , כאשר וכל Q היא חלוקה של הקטע . באופן דומה נגדיר . לפי סעיף 1 של הלמה, ולכן . לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש- ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם מונוטונית עולה).
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים ולכל קיים .
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-. קל לראות שהן חסומות ב- (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע.
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע.