הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
== משפטים חשובים == | == משפטים חשובים == | ||
* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. | * '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. | ||
שורה 28: | שורה 25: | ||
=== מד״ר מכל סדר === | === מד״ר מכל סדר === | ||
− | ==== | + | ==== מד״ר לינארית ==== |
− | + | בפרק זה המד״ר היא תמיד <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x) y^{(k)}=f(x)</math>, וכן <math>P_m(x),Q_m(x)</math> הם פולינומים ממעלה <math>m</math> או פחות. | |
+ | * אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי. | ||
** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי. | ** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי. | ||
* '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. | * '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. | ||
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>. | ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>. | ||
** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל. | ** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל. | ||
− | * '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של | + | * '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>. |
− | * הפתרון הכללי של | + | * הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי כלשהו של המד״ר. |
− | * '''וריאציית הפרמטרים:''' | + | * '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>. |
− | * | + | * נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ולכן <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וגם <math>\sum_{k=0}^n a_k r^k=0</math>. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}\sum_{i=0}^{d_k}c_{k,i}x^i</math>. אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\beta\mathrm i</math> ואז, כיוון ש־<math>\overline{r_k}</math> שורש עם אותו ריבוי, נציב <math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)</math>. |
− | * | + | * '''שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים:''' נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן <math>f(x)=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math>, כאשר <math>\lambda</math> קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> ב־<math>P_m(x)</math> הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\deg P_m=\deg Q_m</math>. ''הערה:'' אם <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>g(x),h(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים. |
גרסה מ־21:01, 12 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ בתיבה , ונתונים תנאי ההתחלה . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע .
- כל מד״ר מסדר שקולה למערכת של מד״ר מסדר 1: . כמו כן, הערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה . אם אזי פתרון, ואם אזי פתרון. אחרת .
- נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר . אם נציב כאשר . אחרת נבחר ונציב .
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר . אזי נציב ו־.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר . אם היא לינארית־הומוגנית אזי , ובכל מקרה .
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר . נציב , כאשר אם אז פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־), אם אז פתרון סינגולרי, ואם אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: .
- מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ כך שתהפוך למדויקת. תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז . היא תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז .
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה . הפתרון הכללי הוא מהצורה . אם פתרון אזי הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר ממעלה . אזי קיימות פונקציות שעבורן .
- אם נציב ואז עבור יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם ו־ אזי .
- אם נציב ואז עבור יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם ו־ אזי .
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה . נבחר פונקציה שעבורה , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר . אזי או (כאשר ) .
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר עבור . נציב ואז . לפיכך מקיים או (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־ מקיים .
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר או נציב ונקבל או , בהתאמה. מתקיים ו־.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן הם פולינומים ממעלה או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות מימדי.
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם ת״ל אזי .
- אם פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום וכן אזי הם ת״ל.
- משפט ליוביל: אם פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי .
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא , כאשר הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא כאשר . באופן שקול: , כאשר .
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב , ולכן וגם . אם השורשים השונים זה מזה הם והריבויים שלהם בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא . אם אינו ממשי ניתן לכתוב ואז, כיוון ש־ שורש עם אותו ריבוי, נציב .
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן , כאשר קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של ב־ הוא (במידה ו־ לא שורש נאמר ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה כאשר . הערה: אם נוכל לפתור עבור בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.