הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←3) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←3) |
||
שורה 66: | שורה 66: | ||
<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math> | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 2})</math> | ||
גרסה מ־02:17, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
3
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:
לכן הצורה הפולארית היא