הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←3) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←3) |
||
שורה 65: | שורה 65: | ||
<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> | <math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math> | ||
− | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over | + | <math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4}</math> |
− | לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over | + | לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4})</math> |
שורה 74: | שורה 74: | ||
<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math> | <math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math> | ||
− | זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{ | + | זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4})</math> |
*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math> | *<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math> | ||
+ | |||
+ | <math>cis(\frac{\pi}{4} = </math> | ||
גרסה מ־02:24, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל
2
הוכח:
נסמן . נחשב את אגף שמאל:
נחשב את אגף ימין:
בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.
אגף ימין:
שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון
3
מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:
לכן הצורה הפולארית היא
זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: