הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ (←משפטים חשובים) |
(←שיטות לפתרון מד״ר) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. | * '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. | ||
* נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | * נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | ||
− | * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\sim\!\!\!\!\!\!\!\int\frac y{z^2}\mathrm dz+ | + | * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\sim\!\!\!\!\!\!\!\int\frac y{z^2}\mathrm dz+c</math>. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. |
− | * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx-\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dz+ | + | * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx-\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dz+c</math>. בנוסף, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>. |
* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה. | * '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה. | ||
* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>. | * '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>. |
גרסה מ־11:56, 13 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ בתיבה , ונתונים תנאי ההתחלה . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע .
- כל מד״ר מסדר שקולה למערכת של מד״ר מסדר 1: . כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה . אם אזי פתרון, ואם אזי פתרון. אחרת .
- נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר . אם נציב כאשר . אחרת נבחר ונציב .
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר . אזי נציב ו־.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר . אם היא לינארית־הומוגנית אזי , ובכל מקרה .
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר . נציב , כאשר אם אז פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־), אם אז פתרון סינגולרי, ואם אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: .
- מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ כך שתהפוך למדויקת. תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז . היא תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז .
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה . הפתרון הכללי הוא מהצורה . אם פתרון אזי הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר ממעלה . אזי קיימות פונקציות שעבורן .
- אם נציב ואז . בנוסף, אם ו־ אזי .
- אם נציב ואז . בנוסף, אם ו־ אזי .
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה . נבחר פונקציה שעבורה , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר . אזי או (כאשר ) .
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר עבור . נציב ואז . לפיכך מקיים או (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־ מקיים .
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר או נציב ונקבל או , בהתאמה. מתקיים ו־.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה המד״ר היא תמיד , וכן הם פולינומים ממעלה או פחות.
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות מימדי.
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם ת״ל אזי .
- אם פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום וכן אזי הם ת״ל.
- משפט ליוביל: אם פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי .
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא , כאשר הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא כאשר . באופן שקול: , כאשר .
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב , ולכן וגם . אם השורשים השונים זה מזה הם והריבויים שלהם בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא . אם אינו ממשי ניתן לכתוב ואז, כיוון ש־ שורש עם אותו ריבוי, נציב .
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן , כאשר קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של ב־ הוא (במידה ו־ לא שורש נאמר ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה כאשר . הערה: אם נוכל לפתור עבור בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.