הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב/פתרון מועד א'"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 2) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 2) |
||
שורה 55: | שורה 55: | ||
זאת גם תשובה טובה. | זאת גם תשובה טובה. | ||
וגם מי שהראה שאין <math>\alpha</math> כך ש <math>\alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3</math> זו גם תשובה נכונה). | וגם מי שהראה שאין <math>\alpha</math> כך ש <math>\alpha(1+x+x^2+x^3)=3+4x+5x^3</math> זו גם תשובה נכונה). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | השלמת <math>B</math> לבסיס: | ||
+ | |||
+ | הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות <math>1,2</math> למדנו שאפשר להוסיף את <math>(0,0,1,0),(0,0,0,1)</math> כלומר <math>e_i</math> עבור כל עמודה <math>i</math> של משתנה חופשי. | ||
+ | |||
+ | ולכן קיבלנו בסיס <math>1+x+x^2+x^3,3+4x+5x^2,x^2,x^3</math>. | ||
+ | |||
+ | שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את <math>x^2,x^3</math> - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות. | ||
+ | |||
+ | הסברים מקובלים: | ||
+ | |||
+ | יש איברים מובילים בעמודות <math>1,2</math>. | ||
+ | |||
+ | יש משתנים חופשיים בעמודות <math>3,4</math> | ||
+ | |||
+ | אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> המטריצה נשארת מדורגת. | ||
+ | |||
+ | אם מוסיפים את <math>e_3,e_4</math> שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | או משהו בסגנון. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא <math>x^2,x^3</math>) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס. | ||
+ | יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם) | ||
+ | גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון. | ||
+ | |||
+ | יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות. | ||
=חלק ב'= | =חלק ב'= |
גרסה מ־17:16, 3 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
חלק א'
שאלה 1
ב. הפרכה:
נניח כי באמת חד חד ערכית.
זה אומר כי , ולכן .
לפי משפט הדרגה
היות ו .
נקבל כי .
מצד שני, ולכן .
קיבלנו ש
כלומר בסתירה לנתון ש .
סתירה.
ולכן לא יכולה להיות חד חד ערכית.
שאלה 2
ראשית נוכיח כי בת"ל.
נייצג את איברי בתור וקטורי קוארדינטות ב לפי הבסיס הסטנדרטי ונקבל
.
נשים וקטורים אלו בשורות מטריצה ונדרג אותה כדי לוודא שהם בלתי תלויים.
הגענו לצורה מדורגת בלי שקיבלנו שורת אפסים ולכן רשימת הוקטורים שהתחלנו איתה בת"ל.
(הערה: מי שהראה שכל צירוף מחייב ש . זאת גם תשובה טובה. וגם מי שהראה שאין כך ש זו גם תשובה נכונה).
השלמת לבסיס:
הואיל ובמטריצה המדורגת שהגענו אליה יש איברים מובילים בעמודות למדנו שאפשר להוסיף את כלומר עבור כל עמודה של משתנה חופשי.
ולכן קיבלנו בסיס .
שימו לב שצריך לנמק למה מוסיפים את - מי שסתם כתב שמוסיפים אותם בלי הסבר איבד נקודות.
הסברים מקובלים:
יש איברים מובילים בעמודות .
יש משתנים חופשיים בעמודות
אם מוסיפים את המטריצה נשארת מדורגת.
אם מוסיפים את שורות המטריצה עדיין בלתי תלויות לינארית.
או משהו בסגנון.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים כלשהם (לאו דווקא ) והראו שהקבוצה הנוצרת היא בת"ל/ פורשת ולכן לפי השלישי חינם היא בסיס.
יש סטודנטים שהמציאו שני וקטורים והוכיחו שהקבוצה הנוצרת בת"ל+ פורשת (שזה מיותר כי אפשר להשתמש בשלישי חינם)
גם התשובות האלה התקבלו, אמנם זה מייגע, אבל זה נכון.
יש סטודנטים שהשתמשו בעוד כל מיני דרכים מקוריות, חלק מהן היו נכונות.