הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←פתרון) |
(←פתרון) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies | + | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li> |
</ol> | </ol> | ||
+ | |||
==הצבות טריגונומטריות== | ==הצבות טריגונומטריות== | ||
כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. | כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. |
גרסה מ־11:18, 5 בספטמבר 2012
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשבו
-
פתרון
נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה ולכן נקבל ומכאן קל למצוא את הפתרון. -
פתרון
נגדיר . נקבל .
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
-
פתרון
נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא . נקבל נציב אזי . -
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה אזי נותר לפתור עבור . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. -
פתרון
ראשית נציב . נציב נקבל: את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה ואז .
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן וגם .
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
-
פתרון
-
פתרון
נציב לפיכך .
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה ננסה להציב .
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב . אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו נציב או .
דוגמה 4
נחשב