הבדלים בין גרסאות בדף "פולינום מינימלי"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המת...") |
|||
שורה 11: | שורה 11: | ||
*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה. | *לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה. | ||
+ | |||
+ | ==תרגילים== | ||
+ | |||
+ | ===א=== | ||
+ | הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הוכחה.''' | ||
+ | |||
+ | ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות. | ||
+ | |||
+ | אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים <math>f(A)=0</math> אם"ם <math>f(B)=0</math>. | ||
+ | |||
+ | אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש<math>f(A),f(B)</math> דומות, המסקנה נובעת. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד. | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | ::<math>f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה מ־07:02, 13 בנובמבר 2012
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.
תכונות
- לכל פולינום f כך ש מתקיים . בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני
- לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
תרגילים
א
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
הוכחה.
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות דומות.
אכן, נסמן ונסמן . לכן:
מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים אם"ם .
אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש דומות, המסקנה נובעת.
בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.