הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ז'ורדן"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת)
(←‏דוגמאות)
שורה 24: שורה 24:
 
מצא בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
 
מצא בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:
  
−
:<math>\begin{pmatrix}
+
:<math>A=\begin{pmatrix}
 
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
 
0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\
 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
שורה 32: שורה 32:
  
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
 +
*ראשית, נחשב את הפולינום האופייני <math>p_A(x)=x^5</math>, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
 +
 +
*שנית, נמצא את הפולינום המינימלי <math>m_A(x)=x^3</math>, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
 +
 +
*כעת נמצא בסיס ל <math>im(A^2)</math> מהצורה <math>A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k</math>

גרסה מ־12:08, 3 בדצמבר 2012

בלוק ז'ורדן

בלוק ז'ורדן הינו מטריצה ריבועית מהצורה

J_n(\lambda):=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\\vdots & \ddots & \ddots &\lambda & 1\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}


לדוגמא,

J_3(0)=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, J_3(2)=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

נזכר בסימון של סכום ישר של מטריצות, לדוגמא: J_1(2)\oplus J_2(0)\oplus J_2(2)= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}

משפט ז'ורדן

תהי A מטריצה ריבועית, כך שהפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים. אזי A דומה למטריצה אלכסונית בלוקים, כאשר כל בלוקיה הם בצורת ג'ורדן. בנוסף, צורה זו יחידה עד כדי סדר הבלוקים.

הוכחה ומציאת מטריצה מז'רדנת

סיכום בנושא משפט ז'ורדן על ידי דר' בועז צבאן


דוגמאות

מצא בסיס מז'רדן למטריצה הבאה:

A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}


  • ראשית, נחשב את הפולינום האופייני p_A(x)=x^5, כלומר זוהי מטריצה ניליפוטנטית
  • שנית, נמצא את הפולינום המינימלי m_A(x)=x^3, בפרט המטריצה ניליפוטנטית מסדר 3
  • כעת נמצא בסיס ל im(A^2) מהצורה A^2v_1,A^2v_2,...,A^2v_k
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משפט_ז%27ורדן&oldid=29368