הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
מתוך Math-Wiki
(←שימוש בכלל לופיטל) |
|||
שורה 24: | שורה 24: | ||
== מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>== | == מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>== | ||
+ | נניח <math>M=L=0</math> '''או''' <math>M=L=\pm\infty</math> | ||
+ | אזי אם הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'}{g'}</math> קיים, הוא שווה לגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f}{g}</math> | ||
+ | ===דוגמא 1=== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x}</math>. | ||
+ | |||
+ | זהו מקרה של <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0</math> | ||
+ | |||
+ | ==דוגמא 2== | ||
+ | |||
+ | ==דוגמא 3== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>. | ||
+ | |||
+ | זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-sin(x)}{1}=-1</math> | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־17:17, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל