הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
מתוך Math-Wiki
(←שימוש בכלל לופיטל) |
(←שימוש בכלל לופיטל) |
||
שורה 36: | שורה 36: | ||
==דוגמא 2== | ==דוגמא 2== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x}</math>. | ||
+ | |||
+ | זהו מקרה של <math>\frac{0}{0}</math>. נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1</math> | ||
==דוגמא 3== | ==דוגמא 3== | ||
חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>. | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}</math>. |
גרסה מ־17:20, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל