הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
(←שימוש בכלל לופיטל) |
(←שימוש בכלל לופיטל) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
:<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-sin(x)}{1}=-1</math> | :<math>\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-sin(x)}{1}=-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == מקרה שני <math>0\cdot \infty</math>== | ||
+ | |||
+ | במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא 4=== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 0}xln(x)</math>. | ||
+ | |||
+ | זהו מקרה של <math>-\infty\cdot 0</math>. נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל: | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow 0}xln(x) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}=</math> | ||
+ | נגזור מונה ומכנה ונקבל | ||
+ | :<math>= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}-x = 0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == מקרה שלישי <math>0^0</math> או <math>1^\infty</math> או <math>\infty^0</math>== | ||
+ | |||
+ | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־17:31, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל