הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-222 תשעד סמסטר ב מגרל"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הוכחת טענה מהתרגול)
(←‏תרגיל 4 שאלה 1: פסקה חדשה)
שורה 9: שורה 9:
 
:(לא מרצה / מתרגל) תהי קבוצה פתוחה <math>U</math>. לפי ההגדרה, לכל <math>a\in U</math> קיים <math>r_a >0</math> שעבורו <math>B_{r_a}(a)\subseteq U</math>. ניקח את איחוד כל הכדורים האלו, זאת אומרת את <math>V:=\bigcup_{a\in U}B_{r_a}(a)</math>. לפי תכונות שהוכחו, זו קבוצה פתוחה ב-<math>X</math>, ואכן מתקיים <math>U=A\cap V</math>; ההכלה משמאל לימין ברורה, וההכלה מימין לשמאל נובעת מכך שאם <math>x\in A\cap V</math>, בהכרח <math>x\in B_{r_a}(a)</math> כלשהו וגם <math>x\in A</math>, ולכן, לפי הבחירה של <math>r_a</math>, <math>x\in U</math> --[[משתמש:גיא|גיא בלשר]] ([[שיחת משתמש:גיא|שיחה]]) 04:24, 4 באפריל 2014 (EDT)
 
:(לא מרצה / מתרגל) תהי קבוצה פתוחה <math>U</math>. לפי ההגדרה, לכל <math>a\in U</math> קיים <math>r_a >0</math> שעבורו <math>B_{r_a}(a)\subseteq U</math>. ניקח את איחוד כל הכדורים האלו, זאת אומרת את <math>V:=\bigcup_{a\in U}B_{r_a}(a)</math>. לפי תכונות שהוכחו, זו קבוצה פתוחה ב-<math>X</math>, ואכן מתקיים <math>U=A\cap V</math>; ההכלה משמאל לימין ברורה, וההכלה מימין לשמאל נובעת מכך שאם <math>x\in A\cap V</math>, בהכרח <math>x\in B_{r_a}(a)</math> כלשהו וגם <math>x\in A</math>, ולכן, לפי הבחירה של <math>r_a</math>, <math>x\in U</math> --[[משתמש:גיא|גיא בלשר]] ([[שיחת משתמש:גיא|שיחה]]) 04:24, 4 באפריל 2014 (EDT)
 
::עקרונית ההוכחה נכונה אבל יש כאן נקודה עדינה שצריך לשים לב אליה. <math>U</math> פתוחה ב- <math> A</math> ולכן כאשר אתה אומר לכל <math>a\in U</math> קיים <math>r_a >0</math> שעבורו <math>B_{r_a}(a)\subseteq U</math>.  הכונה היא לכדור ב- <math> A</math> כלומר  <math>B_A(a,r_a)\subseteq U</math>. בעוד ש <math>V:=\bigcup_{a\in U}B_X(a,r_a)</math>כלומר איחוד כדורים פתוחים ב<math>X</math>.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 04:37, 4 באפריל 2014 (EDT)
 
::עקרונית ההוכחה נכונה אבל יש כאן נקודה עדינה שצריך לשים לב אליה. <math>U</math> פתוחה ב- <math> A</math> ולכן כאשר אתה אומר לכל <math>a\in U</math> קיים <math>r_a >0</math> שעבורו <math>B_{r_a}(a)\subseteq U</math>.  הכונה היא לכדור ב- <math> A</math> כלומר  <math>B_A(a,r_a)\subseteq U</math>. בעוד ש <math>V:=\bigcup_{a\in U}B_X(a,r_a)</math>כלומר איחוד כדורים פתוחים ב<math>X</math>.--[[משתמש:מני ש.|מני]] ([[שיחת משתמש:מני ש.|שיחה]]) 04:37, 4 באפריל 2014 (EDT)
 +
 +
== תרגיל 4 שאלה 1 ==
 +
 +
אני מצרף ניסיון הוכחה נוסף לטענה <math>A'\subseteq A\Rightarrow A\quad is\quad closed</math>, אשמח אם לדעת האם הוא נכון.
 +
 +
תהי <math>\{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X</math>. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה <math>{ \{ { a }_{ { n }_{ k } }\}  }_{ k=1 }^{ \infty  }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\} </math>. כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה <math>a\in A'\subseteq A</math>, לכן <math>a\in A</math>.

גרסה מ־10:09, 5 באפריל 2014

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

הוכחת טענה מהתרגול

בתרגול השלישי נאמר ש- U פתוחה ב-\phi \neq A \subseteq X אם ורק אם קיימת V פתוחה ב-X כך ש- U=A\cap V. אפשר בבקשה עזרה בהוכחה מימין לשמאל (אם U פתוחה אז קיימת V...) ?

(לא מרצה / מתרגל) תהי קבוצה פתוחה U. לפי ההגדרה, לכל a\in U קיים r_a >0 שעבורו B_{r_a}(a)\subseteq U. ניקח את איחוד כל הכדורים האלו, זאת אומרת את V:=\bigcup_{a\in U}B_{r_a}(a). לפי תכונות שהוכחו, זו קבוצה פתוחה ב-X, ואכן מתקיים U=A\cap V; ההכלה משמאל לימין ברורה, וההכלה מימין לשמאל נובעת מכך שאם x\in A\cap V, בהכרח x\in B_{r_a}(a) כלשהו וגם x\in A, ולכן, לפי הבחירה של r_a, x\in U --גיא בלשר (שיחה) 04:24, 4 באפריל 2014 (EDT)
עקרונית ההוכחה נכונה אבל יש כאן נקודה עדינה שצריך לשים לב אליה. U פתוחה ב- A ולכן כאשר אתה אומר לכל a\in U קיים r_a >0 שעבורו B_{r_a}(a)\subseteq U. הכונה היא לכדור ב- A כלומר B_A(a,r_a)\subseteq U. בעוד ש V:=\bigcup_{a\in U}B_X(a,r_a)כלומר איחוד כדורים פתוחים בX.--מני (שיחה) 04:37, 4 באפריל 2014 (EDT)

תרגיל 4 שאלה 1

אני מצרף ניסיון הוכחה נוסף לטענה A'\subseteq A\Rightarrow A\quad is\quad closed, אשמח אם לדעת האם הוא נכון.

תהי \{ { a }_{ n }\} \subseteq A;{ a }_{ n }\rightarrow a\in X. אם היא קבועה לבסוף אז ודאי שהגבול בA. אחרת, יש תת סדרה { \{ { a }_{ { n }_{ k } }\} }_{ k=1 }^{ \infty }\subseteq A\diagdown \left\{ a \right\} . כל תת סדרה של מתכנסת תתכנס גם היא ולאותו גבול, לכן לפי הגדרה a\in A'\subseteq A, לכן a\in A.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-222_תשעד_סמסטר_ב_מגרל&oldid=41072