הבדלים בין גרסאות בדף "קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי"
(דף חדש: == משפט == <math>A</math> לכסינה <math>\iff</math> הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה <math>m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k)</math> עבור <…) |
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־23:24, 17 בנובמבר 2009
משפט
לכסינה הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה עבור הע"ע השונים של
הוכחה
לכסינה ולכן קיים בסיס של ו"ע של נקרא לו . ברור שהפולינום המינימלי של חייב להכיל את הגורמים האי פריקים לכל הע"ע של . לכן אם הפולינום מקיים אזי הוא הפולינום המינימלי (בוודאי אין פולינום קטן ממנו...)
אנו יודעים שעבור כל קיים כך ש. מה הערך של עבור ?
הבה נסתכל ב :
אבל
ולכן לכל
בסיס ולכן כל וקטור ניתן להצגה כצירוף לינארי של איברי :
ולכן
אם אז קיימת לה עמודה שונה מאפס, אזי . אבל ראינו ש ולכן ולכן .
קודם כל הפולינום המינימלי של מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן כך גם הפולינום המאפיין של .
כלומר החזקה של הגורם בפולינום המינימלי שווה לאחד עבור כל אחד מהע"ע של . לכן לפי משפט הקיום והיחידות של ז'ורדן הבלוק המקסימלי עבור כל ע"ע בצורת הז'ורדן של הוא מגודל . כלומר לכסינה.