הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מכפלת טורים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
<tex>קוד:ראש</tex> | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
− | יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $ | + | יהיו 2 טורים $(B)\sum_{n=0}^\infty b_n , (A) \sum_{n=0}^\infty $ . נגדיר את הטור $(C)\sum_{n=0}^\infty c_n $ כאשר\\ |
+ | $c_n=\sum_{k=0}^n= a_k b_{n-k} $ | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
+ | נניח שהטורים $A,B$ מתכנסים בהחלט אזי גם $C$ מתכנס בהחלט ו-$C=A\cdot B$ | ||
+ | \end{thm} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
+ | קודם נראה ש-$C$ מתכנס בהחלט | ||
− | $ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}|\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| | + | $$ \sum_{n=0}^m |c_n| = \sum_{n=0}^m \left |\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right |\leq \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^n |a_k b_{n-k}| \leq$$ |
+ | $$ \sum_{n=0}^m \sum_{k=0}^m |a_n| |b_k|= \sum_{n=0}^m |a_n| \cdot \sum_{k=0}^m |b_k| = A'\cdot B'$$ | ||
− | לכן | + | כאשר $A',B' $ זה טור הערכים המוחלטים של $A,B$ וידוע שהם קיימים וסופיים משום שהטורים מתכנסים בהחלט. לכן קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים של $C'_n $ ואז הטור מתכנס בהחלט. |
− | נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ | + | נסמן את הסס"ח של $A$ ב-$A_n$ ואת הסס"ח של $B$ ב- $B_n$. מתקיים ש- |
− | $ | + | $C_n = \sum_{m=0}^n \sum_{k=0}^m a_k b_{m-k} \leq \sum_{k=0}^n \sum_{m=0}^n a_k b_m $ |
+ | |||
+ | \end{proof} | ||
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> |
גרסה מ־14:07, 3 בספטמבר 2014