הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"
(←המספר e) |
(←תכונות) |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
==תכונות == | ==תכונות == | ||
− | לכל מספר טבעי n מתקיים כי: | + | הסדרה <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי: |
+ | |||
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math> | ::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<e<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math> | ||
+ | |||
'''הוכחה:''' | '''הוכחה:''' | ||
− | + | קל להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת. | |
+ | |||
+ | מובן מאליו כי | ||
+ | |||
+ | ::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}</math> | ||
+ | |||
+ | אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ||
כמו כן: | כמו כן: | ||
שורה 45: | שורה 53: | ||
::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math> | ::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\rightarrow e\cdot 1</math> | ||
+ | וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה. | ||
− | + | ||
+ | נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת: | ||
נסמן | נסמן | ||
שורה 81: | שורה 91: | ||
::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> | ::<math>1<\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> | ||
− | |||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== |
גרסה מ־15:15, 16 בנובמבר 2014
המספר e
לסדרה יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיוון ש אנו מקבלים כי
תכונות
הסדרה מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
הוכחה:
קל להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
מובן מאליו כי
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי השיוויון:
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
דוגמאות
תרגיל.
מצא את גבול הסדרה
לכן לפי משפט אם אזי גם .
לכן הגבול הינו: