הבדלים בין גרסאות בדף "בונוס ללינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"
(דף חדש: ==שאלת הבונוס== תהי <math>A \in \mathbb{C}^{n}</math> הפיכה, ונתון ש <math>A^2</math> לכסינה. הוכח ש<math>A</math> לכסינה. יש פותרים …) |
(אין הבדלים)
|
גרסה אחרונה מ־21:33, 1 בדצמבר 2009
שאלת הבונוס
תהי הפיכה, ונתון ש לכסינה. הוכח ש לכסינה.
יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשלוש דרכים עיקריות:
1. הפותרים: רום דודקביץ ועידו קוטלר
מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן (החזקות הן אחד לפי התיקון/השלמה שנייה להרצאה כי לכסינה). המטריצה הפיכה ולכן גם הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל קיימים שני שורשים שונים כך ש.
כלומר לכן
.
נסמן וקבלנו ש ולכן הפולינום המינימלי של מחלק את . אבל מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) לכסינה.
2. הפותרים: דניאל ורדי-זר, אסף רוזן וניל וקסלר
אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי צורת הז'ורדן של . אזי , נעלה בריבוע ונקבל כלומר ו דומות.
נניח בשלילה ש לא לכסינה ונוכיח שנובע ש לא לכסינה וזו סתירה לכך ש לכסינה.
היא סכום ישר של בלוקים, ולכן היא סכום ישר של הבלוקים של בריבוע. הנחנו ש לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).
נניח בלוק ז'ורדן ב כך ש. מכיוון ש הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן . לכן בהכרח (תרגיל) מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את . ולכן . לכן יש ל פחות מ וקטורים עצמיים בת"ל.
לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי . אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה את הבלוק שתורם פחות מ וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה יש פחות מ וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.
3. הפותר: עדן קופרווסר
אנחנו מעל המרוכבים, ולכן דומה למטריצה משולשית שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של . לכן כלומר הע"ע של הם בדיוק הריבועים של הע"ע של .
נוכיח שהמרחב העצמי של עבור הע"ע (נסמן אותו ב), שווה לסכום המרחבים העצמיים של עבור הע"ע (נסמן אותם ב. כלומר נוכיח ש .
דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח אזי וגם אזי לכן ההפרש בינהם יוצא . כעת, נתון ש לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן כלומר הסכום הוא ישר.
דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח אזי כך ש ונכפול שוב במטריצה לקבל ולכן . ולכן .
בכיוון ההפוך, נניח לכן לכן וגם . אם אזי וסיימנו. אם אזי וסיימנו.
אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר וגם אזי נסמן ונסמן .
מהמשוואות למעלה רואים ש וגם . לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של ולכן . אבל ולכן ולכן ולכן .
מכיוון שהראנו הכלה דו-כיוונית אזי כפי שרצינו להוכיח.
כעת, לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה . אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן אבל זה שווה אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של , ויצא לנו שהוא גם כן שווה . ולכן לכסינה.