הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון אורתוגונלי"
מתוך Math-Wiki
(דף חדש: =לכסון אורתוגונלי= ==אלגוריתם== * מצא את הע"ע של המטריצה A * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של ה…) |
(←הוכחה) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
* לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה | * לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה | ||
* לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ | * לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ | ||
− | * מכיוון שA | + | * מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה |
* לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע | * לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע | ||
* לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב | * לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב |
גרסה מ־19:06, 13 באוקטובר 2010
לכסון אורתוגונלי
אלגוריתם
- מצא את הע"ע של המטריצה A
- מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
- שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
- הינה מטריצה אלכסונית
הוכחה לאלגוריתם
- ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית
- ידוע שאם P אורתוגונלית אזי
- נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית.
טענה
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית
הוכחה
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן ולכן (כי D אלכסונית).
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).
לכן, ולכן אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר ולכן בהכרח כלומר הם מאונכים.
- לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
- לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
- מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
- לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
- לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
- לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
- אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
- בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.