הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
שורה 20: | שורה 20: | ||
:<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> | :<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> | ||
וכן הלאה עד שנקבל | וכן הלאה עד שנקבל | ||
− | :<math>|S_m-S_n|<a_{n+1}</math> | + | :<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math> |
וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). | וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). |
גרסה מ־21:17, 27 בינואר 2016
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ- .
נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש שואפת לאפס, החל ממקום מסויים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.