הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←אינטגרלים פשוטים) |
(←אינטגרציה בחלקים) |
||
שורה 46: | שורה 46: | ||
==אינטגרציה בחלקים== | ==אינטגרציה בחלקים== | ||
− | כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם {{ltr|f'}} ו-{{ltr|g'}} רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה: | + | כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם {{ltr|f'}} ו-{{ltr|g'}} רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה: |
<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>. | <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>. |
גרסה מ־06:29, 16 במרץ 2016
תוכן עניינים
האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - , שפתרונו פשוט עבור F פונקציה קדומה ל-f וקבוע c.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק (עבור ): לפי ההגדרה . לכן עבור מתקיים
ועבור , .
- .
- .
דוגמאות חישוב
- (מהפיכת כלל השרשרת)
- (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
- (הפונקציה אלמנטרית אבל האינטגרל לא ידוע לנו. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
- . אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל , ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
- . נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: ובסה"כ .
- .
- .
- ולכן .
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז ולפיכך .
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה נקבל . נעביר אגף: , נחזור לאינטגרל ונקבל .
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
- : נציב ולכן ולפיכך .
- : נציב ואז ונובע ש-.
- : נציב ולכן .
- : עבור נקבל .
- .
- : נציב ונקבל .
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: . - : נציב ונקבל .
- : נציב ואז . מכאן ש-.
- : נציב ומכאן ש-. לבסוף, ולכן .
דרך אחרת: . נגדיר ושוב נקבל - : נציב ולכן .
- : נבחר כדי לקבל .
שיטה אחרת: ואז .
שיטה אחרונה: .
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: .