הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
(←דוגמא 1) |
||
שורה 11: | שורה 11: | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li> | נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li> | ||
− | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}dx</math> | + | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx</math> |
====פתרון==== | ====פתרון==== |
גרסה אחרונה מ־19:26, 2 ביולי 2016
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמא 1
חשבו
-
פתרון
נרשום את האינטגרל כ- . מתבקשת ההצבה ולכן נקבל ומכאן קל למצוא את הפתרון. -
פתרון
נגדיר . נקבל .
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמא 2
-
פתרון
נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracx לא מוכרת): \tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}
. נקבל נציב אזי . -
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה אזי נותר לפתור עבור . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. -
פתרון
ראשית נציב . נציב נקבל: את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה ואז .
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן וגם .
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
-
פתרון
-
פתרון
נציב לפיכך .
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה ננסה להציב .
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב . אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו נציב או .
דוגמה 4
נחשב