הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ==משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים== | ||
− | |||
תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: | תהי <math>\{a_n\}</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: | ||
שורה 9: | שורה 8: | ||
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. | נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. | ||
− | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני | + | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>. |
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math> | *<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math> | ||
− | נראה כי כל | + | נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: |
:<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> | :<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math> | ||
לכן | לכן | ||
שורה 22: | שורה 21: | ||
:<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math> | :<math>\Big|S_m-S_n\Big|<a_{n+1}</math> | ||
− | וכיון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום | + | וכיון ש- <math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב- <math>m</math>). |
לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן | לפי טיעון דומה, <math>\Bigg|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n\Bigg|=\Bigg|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-\cdots\Bigg|\le a_{k+1}</math> ולכן |
גרסה מ־04:04, 20 ביולי 2016
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- .
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש- שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.