הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרציה בחלקים"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
(←הגדרה) |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל: | הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל: | ||
:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math> | :<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math> | ||
+ | |||
+ | הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות. | ||
+ | |||
+ | (אחרת, אמנם יש קדומה ל<math>f'\cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל<math>f'\cdot g</math> ו <math>g'\cdot f</math> בנפרד.) | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== |
גרסה מ־18:58, 20 ביולי 2016
הגדרה
אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.
(אחרת, אמנם יש קדומה ל, אבל לא בהכרח ל ו בנפרד.)
דוגמאות
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
נסמן
ולכן
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
- .
ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.
נסמן
לכן
ולכן
ומכאן יוצא
- .
ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע כנגזרת של הפונקציה ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
נסמן
ולכן
נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.