הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11"
(←חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)) |
|||
שורה 37: | שורה 37: | ||
נפתח גם לפי העמודה השנייה: | נפתח גם לפי העמודה השנייה: | ||
<math>|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0 </math> | <math>|A|=(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix}4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{2+3}\cdot 8 \cdot \begin{vmatrix} 1&3\\ 4&6 \end{vmatrix}=0 </math> | ||
+ | |||
+ | ==תכונות של הדטרמיננטה== | ||
+ | |||
+ | 1. כפליות <math>|AB|=|A||B|</math>. | ||
+ | 2. בפרט <math>|A^k|=|A|^k</math>. | ||
+ | 3. <math>|A^t|=|A|</math>. | ||
+ | 4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). | ||
+ | 5. אם <math>A</math> הפיכה אז <math>|A^{-1}|=|A|^{-1}</math>. | ||
+ | 6. <math>A</math> הפיכה אם"ם <math>|A|\neq 0</math>. | ||
+ | |||
+ | למשל המטריצה <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס. | ||
+ | |||
+ | שימו לב שאין בהכרח קשר בין <math>|A+B|</math> לבין <math>|A|+|B|</math>. (דוגמא?) | ||
+ | |||
+ | =תרגיל= | ||
+ | נתונות מטריצות <math>A,B\in F^{n \times n}</math> כך ש <math>|A|=2, |B|=-1</math>. חשבו את <math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון''' | ||
+ | |||
+ | <math>|(AB^{-1})^t(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})^t|\cdot |(BA)^{-2}|=|(AB^{-1})|\cdot |(BA)|^{-2}|=|A||B|^{-1}|B|^{-2}|A|^{-2}=-\frac{1}{2}</math> |
גרסה מ־07:10, 3 באוגוסט 2016
דטרמיננטות
הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות
- הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 היא הערך היחיד במטריצה .
- הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא .
למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .
חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
סימון עבור מטריצה נסמן ב את המטריצה מגודל המתקבלת מ ע"י מחיקת השורה ה והעמודה ה. זה נקרא המינור ה של המטריצה.
דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
למשל
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה:
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה:
לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
נפתח לפי השורה הראשונה:
נפתח גם לפי העמודה השנייה:
תכונות של הדטרמיננטה
1. כפליות . 2. בפרט . 3. . 4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?). 5. אם הפיכה אז . 6. הפיכה אם"ם .
למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.
שימו לב שאין בהכרח קשר בין לבין . (דוגמא?)
תרגיל
נתונות מטריצות כך ש . חשבו את .
פתרון