הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11"
(←תכונות של הדטרמיננטה) |
(←חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)) |
||
שורה 17: | שורה 17: | ||
'''סימון''' עבור מטריצה <math>A\in F^{n\times n}</math> נסמן ב <math>M_{ij}</math> את המטריצה מגודל <math>n-1 \times n-1</math> המתקבלת מ<math>A</math> ע"י מחיקת השורה ה<math>i</math> והעמודה ה<math>j</math>. זה נקרא המינור ה<math>ij</math> של המטריצה. | '''סימון''' עבור מטריצה <math>A\in F^{n\times n}</math> נסמן ב <math>M_{ij}</math> את המטריצה מגודל <math>n-1 \times n-1</math> המתקבלת מ<math>A</math> ע"י מחיקת השורה ה<math>i</math> והעמודה ה<math>j</math>. זה נקרא המינור ה<math>ij</math> של המטריצה. | ||
− | דוגמא: עבור <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> למשל | + | דוגמא: עבור <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>למשל |
<math>M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}</math> | <math>M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}</math> | ||
<math>M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}</math> | <math>M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}</math> | ||
שורה 32: | שורה 32: | ||
לדוגמא: | לדוגמא: | ||
− | <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math> נפתח לפי השורה הראשונה: | + | <math>A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}</math>נפתח לפי השורה הראשונה: |
<math>|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 </math> | <math>|A|=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix}5&6\\ 8&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{vmatrix}+(-1)^{1+3}\cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 4&5\\ 7&8 \end{vmatrix}=0 </math> | ||
גרסה מ־07:19, 3 באוגוסט 2016
תוכן עניינים
דטרמיננטות
הגדרה הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר המחושב מסכומים של מכפלות של אברי המטריצה.
חישוב דטרמיננטה של מטריצות קטנות
- הדטרמיננטה של מטריצה מסדר 1 היא הערך היחיד במטריצה .
- הדטרמיננטה של מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{a&b\\ c&d} \in F^{2\times 2}
היא .
למשל: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): det\pmatrix{1&2\\ 3&4} = 1\cdot 4-2\cdot 3=-2 .
חישוב לפי נוסחת לפלס (מינורים)
סימון עבור מטריצה נסמן ב את המטריצה מגודל המתקבלת מ ע"י מחיקת השורה ה והעמודה ה. זה נקרא המינור ה של המטריצה.
דוגמא: עבור עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} למשל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{12}=\pmatrix{4&6\\ 7&9}
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): M_{23}=\pmatrix{1&2\\ 7&8}
אפשר למצוא את הדטרמיננטה בעזרת הדטרמיננטות של המינורים (לפי שורה או לפי עמודה), וכך באינדוקציה למצוא דטורמיננטה של כל מטריצה.
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי השורה ה:
מציאת הדטרמיננטה ע"י מינורים עם פיתוח לפי העמודה ה:
לדוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9} נפתח לפי השורה הראשונה:
נפתח גם לפי העמודה השנייה:
תכונות של הדטרמיננטה
1. כפליות .
2. בפרט .
3. .
4. אם המטריצה משולשית אז הדטרמיננטה= מכפלת אברי האלכסון (להדגים?).
5. אם הפיכה אז .
6. הפיכה אם"ם .
למשל המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): A=\pmatrix{1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9}
איננה הפיכה כי חישבנו שהדטרמיננטה היא אפס.
שימו לב שאין בהכרח קשר בין לבין . (דוגמא?)
תרגיל
נתונות מטריצות כך ש . חשבו את .
פתרון
תרגיל
תהי עם דטרמיננטה . מצא את .
פתרון
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \pmatrix לא מוכרת): |2B|=|2I\cdot B|=|\pmatrix{2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2}|\cdot |B|=2^3 \cdot (-1)
בהכללה: .