הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
(←טורים) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | במשפטים הבאים, אלא אם | + | במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן: |
− | * <math>c</math> הוא קבוע. | + | *<math>c</math> הוא קבוע. |
− | * <math>f,g</math> פונקציות. | + | *<math>f,g</math> פונקציות. |
− | * הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math>. | + | *הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math> . |
− | * אם | + | *אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math>"). |
− | * <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | + | *<math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש- <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> . |
− | :* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>. | + | :*<math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math> . |
− | :* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו-<math>\ | + | :*<math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש- <math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו- <math>\forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math> . |
=אינטגרלים= | =אינטגרלים= | ||
− | * אם <math>F | + | *אם <math>F,G</math> קדומות ל- <math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש- <math>F(x)=G(x)+c</math> . |
− | * אם <math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | + | *אם <math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> . |
− | * אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>. | + | *אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ- <math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math> . |
− | * לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>. | + | *לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> . |
− | * לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline\ | + | *לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f</math> . |
− | * תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline\ | + | *תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math> . |
− | * נניח | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> . |
− | * נניח | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש- <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math> . |
− | * אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית. | + | *אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | :* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | + | :*{{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | ::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | + | ::*{{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | * אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. | + | * אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. |
− | * נניח | + | * נניח כי <math>a<c<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב- <math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> . |
− | :* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\ | + | :*{{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו- <math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f</math> . |
− | * אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math>. | + | *אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> . |
− | * הגדרות האינטגרל לפי | + | *הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות. |
− | * '''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b | + | *'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b[f+cg]=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> . |
− | * '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]: | + | *'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> . |
− | :* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | + | :*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> . |
− | * '''הכללה לאי- | + | *'''הכללה לאי-שוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו- <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math> . |
− | * אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | + | *אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> . |
− | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]: | + | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> . |
− | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>. | + | ::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> . |
− | * '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]: | + | *'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0</math> ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>). |
− | * '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>. | + | *'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math> . |
− | * לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. | + | *לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. |
− | * '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x) | + | *'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> . |
− | :* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> | + | :*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> |
− | * '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x) | + | *'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>. |
− | :* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x)) | + | :*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg</math> |
− | * כל פונקציה | + | *כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים. |
− | * נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f</math> אי-שלילית | + | *נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f(x)^2dx</math> . |
− | * אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\ | + | *אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> . |
− | * אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2} | + | *אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . |
− | * שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2} | + | *שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>. | + | *'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\ | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>. |
* '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. | * '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. | ||
* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. | * תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. |
גרסה מ־20:53, 20 בספטמבר 2016
במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- הוא קבוע.
- פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור .
- אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: " חסומה" = " חסומה ב- ").
- היא חלוקה של הקטע הנתון כך ש- .
- היא העדנה של .
- היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה כך ש- ו- .
תוכן עניינים
אינטגרלים
- אם קדומות ל- בנקודה כלשהי אז קיים כך ש- .
- אם חסומה ב- אזי .
- אם (כלומר, מתקבלת מ- ע"י הוספת נקודות) ו- חסומה בקטע אזי וכן .
- לכל חלוקה של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של ), אם חסומה בקטע אזי .
- לכל אינטגרבילית מתקיים .
- תהי חסומה. אזי וגם .
- נניח כי חסומה. אינטגרבילית אם"ם .
- נניח כי חסומה. אינטגרבילית אם"ם לכל קיימת חלוקה של כך ש- .
- אם רציפה אז אינטגרבילית.
- הכללה: אם רציפה וחסומה בקטע הפתוח אזי אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי אינטגרבילית.
- אם מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח כי . אזי אינטגרבילית ב- , ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב- , ואם כן אז .
- הכללה: עבור כנ"ל ו- (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים .
- אם חסומה אז . יתר על כן, ו- .
- הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
- לינאריות: עבור אינטגרביליות מתקיים .
- מונוטוניות: אם אינטגרביליות וכן אזי .
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם אינטגרביליות ואי-שלילית אזי .
- הכללה לאי-שוויון המשולש: אם אינטגרבילית אז אינטגרבילית ו- .
- אם אינטגרבילית וחסומה אז .
- מקרה פרטי: אם ו- אינטגרבילית אז .
- מקרה פרטי: אם (פונקציה קבועה) אז .
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי אינטגרבילית ותהי כך ש- . אזי רציפה וכן לכל נקודה ב- שבה רציפה, קדומה ל- (כלומר, גזירה ב- כך ש- ).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי רציפה. אזי .
- לכל רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי רציפות. אזי .
- שיטת ההצבה: .
- כל פונקציה רציונאלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים כאשר ול- אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- אי-שלילית בקטע סביב ציר ה- הוא .
- אם רציפה אז הממוצע שלה בקטע הוא .
- אם גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע הוא .
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של רציפה סביב ציר ה- בקטע הוא .
- קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא בעלת נגזרת -ית רציפה. אזי כאשר הוא פיתוח טיילור מסדר של והשארית היא עבור כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב .
- קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא בעלת נגזרת רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים ו- זוגי. אזי והשגיאה חסומה ע"י כאשר .
- תהיינה אינטגרביליות ב-. אזי אינטגרבילית ב- ומתקיים .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי אינטגרבילית ב- אם"ם אינטגרבילית ב- ואם כן .
- מונוטונית עולה ב-. אזי קיים אם"ם ואם כן .
- אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל, ואם לא אז .
- מבחן ההשוואה: נניח ש- אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אם מתכנס אז מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אזי אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- עבור כלשהו. אזי מתכנס אם"ם מתכנס.
- בפרט מתקיים .
- תהא מוגדרת ב-. קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל קיים כך שאם אזי .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אם אינטגרבילית בקטע אזי גם אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא רציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר . כמו כן תהא מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו-. אזי מתכנס.
- סכימה בחלקים: כאשר .
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש- סדרה מונוטונית כך ש-. אזי מתכנס.
- אם אינטגרביליות ב- אזי לכל מתקיים .
- עבור ו- אינטגרבילית מקומית ב-, אינטגרבילית בקטע אם"ם אינטגרבילית ב-, ואם כן .
- תהי מונוטונית ב-. אזי קיים אם"ם חסומה ב-.
- אם אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- אז אינטגרבילית ב- אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
- מבחן ההשוואה: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- וכן . אם מתכנס אזי מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וקיים . אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב-. אם מתכנס אז מתכנס.
סדרות וטורים של פונקציות
התכנסות במ"ש
סדרות
- במ"ש על , כלומר , אם"ם .
- נניח כי במ"ש ב-, ועבור כלשהו רציפה ב- לכל . אזי רציפה ב-.
- במ"ש ב- וכל אינטגרבילית בקטע. אזי אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
- היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-, המתכנסות במ"ש ב- לפונקציה . כמו כן, מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-. אזי מוגדרת ב- ומתקיים .
- סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר .
- משפט דיני: נתון כי כל רציפה בקטע סגור והסדרות עולות לכל או יורדות לכל . כמו כן, נקודתית ו- רציפה ב-. אזי במ"ש.
טורים
- טור פונקציות מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר .
- מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל מוגדרת ב- וחסומה שם, כלומר עבור כלשהו, וכן מתכנס במובן הצר. אזי מתכנס בהחלט במ"ש על .
- נתון כי כל רציפה ב- וכן במ"ש על . אזי רציפה ב-.
- במ"ש על וכל אינטגרבילית ב-. אזי אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
- היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-. הטור מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות מתכנס במ"ש על . אזי מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה כך ש-.
טורי חזקות
- יהי טור חזקות. רדיוס ההתכנסות מקיים שאם הנקודה מקיימת אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב- לכל .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אם קיים במובן הרחב אזי .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי היא פונקציה המוגדרת ב-, כך שנגזרתה בקטע זה היא .
- הכללה: בתנאים הללו, גזירה אינסוף פעמים ו- לכל . יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי לכל מתקיים , ז"א הטור הוא טור טיילור של סביב .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי אינטגרבילית ב- ומתקיים לכל בקטע . רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא .
- משפט היחידות לטורי חזקות: אם לכל אזי .
- משפט אבל: נניח ש- טור חזקות בעל רדיוס התכנסות . אם קיים אזי קיים ושווה לו, ואם קיים אזי קיים ושווה לו.
השתנות חסומה
- בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי חסומה.
- בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש מונוטוניות עולות בקטע כך ש-.
- תהי בעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים ולכל קיים .
- תהי בעלת השתנות חסומה ב-. אזי אינטגרבילית ב-.