הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 32: | שורה 32: | ||
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> . | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> . | ||
::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> . | ::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> . | ||
− | *'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0 | + | *'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>). |
− | *'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)] | + | *'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> . |
*לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. | *לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. | ||
*'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> . | *'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> . | ||
− | :*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)] | + | :*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> |
− | *'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>. | + | *'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> . |
:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg</math> | :*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg</math> | ||
*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים. | *כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים. | ||
− | *נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f(x)^2dx</math> . | + | *נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> . |
*אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> . | *אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> . | ||
*אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | *אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | ||
*שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | *שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . | ||
*'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> . | *'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> . | ||
− | *'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\ | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> . |
− | *'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\ | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big|</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\ | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math> . |
− | * תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. | + | *תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> . |
− | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math | + | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> ויהי <math>a<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math> . |
− | * <math>f</math> מונוטונית עולה ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\ | + | *<math>f</math> מונוטונית עולה ב- <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x)</math> . |
− | * <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>. | + | *<math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math> . |
− | * '''מבחן ההשוואה:''' נניח | + | *'''מבחן ההשוואה:''' נניח <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. |
− | * '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\ | + | *'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R</math> . אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. |
− | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. | + | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. |
− | * '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\ | + | *'''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum\limits_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס. |
− | :* בפרט מתקיים <math>\ | + | :*בפרט מתקיים <math>\sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n)</math> . |
− | * תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\ | + | *תהא <math>f</math> מוגדרת ב- <math>[a,\infty)</math> . <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>\Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon</math> . |
− | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>. | + | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> . |
− | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו. | + | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו. |
− | * '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\ | + | *'''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> . כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ו- <math>\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס. |
− | * '''סכימה בחלקים:''' <math>\ | + | *'''סכימה בחלקים:''' <math>\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k</math> . |
− | * '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\ | + | *'''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum\limits_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח <math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math> . אזי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס. |
− | * אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. | + | *אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> . |
− | * עבור <math> | + | *עבור <math>c\in(a,b)</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> , <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math> . |
− | * תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\ | + | *תהי <math>f</math> מונוטונית ב- <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב- <math>(a,b]</math> . |
− | * אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>. | + | *אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math> . |
− | * '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-<math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | + | *'''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- <math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. |
− | * '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math> וקיים <math>\ | + | *'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. |
− | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. | + | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד. |
− | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>. | + | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math> . |
− | * תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. | + | *תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> . אם <math>\int\limits_a^b|f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. |
=סדרות וטורים של פונקציות= | =סדרות וטורים של פונקציות= |
גרסה מ־16:23, 13 באוקטובר 2016
במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- הוא קבוע.
- פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור .
- אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: " חסומה" = " חסומה ב- ").
- היא חלוקה של הקטע הנתון כך ש- .
- היא העדנה של .
- היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה כך ש- ו- .
תוכן עניינים
אינטגרלים
- אם קדומות ל- בנקודה כלשהי אז קיים כך ש- .
- אם חסומה ב- אזי .
- אם (כלומר, מתקבלת מ- ע"י הוספת נקודות) ו- חסומה בקטע אזי וכן .
- לכל חלוקה של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של ), אם חסומה בקטע אזי .
- לכל אינטגרבילית מתקיים .
- תהי חסומה. אזי וגם .
- נניח כי חסומה. אינטגרבילית אם"ם .
- נניח כי חסומה. אינטגרבילית אם"ם לכל קיימת חלוקה של כך ש- .
- אם רציפה אז אינטגרבילית.
- הכללה: אם רציפה וחסומה בקטע הפתוח אזי אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי אינטגרבילית.
- אם מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח כי . אזי אינטגרבילית ב- , ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב- , ואם כן אז .
- הכללה: עבור כנ"ל ו- (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים .
- אם חסומה אז . יתר על כן, ו- .
- הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
- לינאריות: עבור אינטגרביליות מתקיים .
- מונוטוניות: אם אינטגרביליות וכן אזי .
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם אינטגרביליות ואי-שלילית אזי .
- הכללה לאי-שוויון המשולש: אם אינטגרבילית אז אינטגרבילית ו- .
- אם אינטגרבילית וחסומה אז .
- מקרה פרטי: אם ו- אינטגרבילית אז .
- מקרה פרטי: אם (פונקציה קבועה) אז .
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי אינטגרבילית ותהי כך ש- . אזי רציפה וכן לכל נקודה שבה רציפה, קדומה ל- (כלומר, גזירה ב- כך ש- ).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי רציפה. אזי .
- לכל רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי רציפות. אזי .
- שיטת ההצבה: .
- כל פונקציה רציונאלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים כאשר ול- אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- אי-שלילית בקטע סביב ציר ה- הוא .
- אם רציפה אז הממוצע שלה בקטע הוא .
- אם גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע הוא .
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של רציפה סביב ציר ה- בקטע הוא .
- קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא בעלת נגזרת -ית רציפה. אזי כאשר הוא פיתוח טיילור מסדר של והשארית היא עבור כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב .
- קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא בעלת נגזרת רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים . אזי והשארית חסומה ע"י כאשר .
- קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה היא חלוקה שווה כאשר לכל מתקיים ו- זוגי. אזי והשגיאה חסומה ע"י כאשר .
- תהיינה אינטגרביליות ב- . אזי אינטגרבילית ב- ומתקיים .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי אינטגרבילית ב- אם"ם אינטגרבילית ב- ואם כן .
- מונוטונית עולה ב- . אזי קיים אם"ם ואם כן .
- אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- . אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל, ואם לא אז .
- מבחן ההשוואה: נניח אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אם מתכנס אז מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וכן . אזי אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- עבור כלשהו. אזי מתכנס אם"ם מתכנס.
- בפרט מתקיים .
- תהא מוגדרת ב- . קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל קיים כך שאם אזי .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- . אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- . אם אינטגרבילית בקטע אזי גם אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא רציפה ב- ונניח שהאינטגרלים החלקיים חסומים כאשר . כמו כן תהא מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- ו- . אזי מתכנס.
- סכימה בחלקים: כאשר .
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור יש סכומים חלקיים חסומים ונניח סדרה מונוטונית כך ש- . אזי מתכנס.
- אם אינטגרביליות ב- אזי לכל מתקיים .
- עבור ו- אינטגרבילית מקומית ב- , אינטגרבילית בקטע אם"ם אינטגרבילית ב-, ואם כן .
- תהי מונוטונית ב- . אזי קיים אם"ם חסומה ב- .
- אם אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- אז אינטגרבילית ב- אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים כאשר .
- מבחן ההשוואה: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- וכן . אם מתכנס אזי מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי: אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- וקיים . אם מתכנס אז מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- . אזי מתכנס אם"ם .
- תהא אינטגרבילית מקומית ב- . אם מתכנס אז מתכנס.
סדרות וטורים של פונקציות
התכנסות במ"ש
סדרות
- במ"ש על , כלומר , אם"ם .
- נניח כי במ"ש ב-, ועבור כלשהו רציפה ב- לכל . אזי רציפה ב-.
- במ"ש ב- וכל אינטגרבילית בקטע. אזי אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
- היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-, המתכנסות במ"ש ב- לפונקציה . כמו כן, מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-. אזי מוגדרת ב- ומתקיים .
- סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר .
- משפט דיני: נתון כי כל רציפה בקטע סגור והסדרות עולות לכל או יורדות לכל . כמו כן, נקודתית ו- רציפה ב-. אזי במ"ש.
טורים
- טור פונקציות מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר .
- מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל מוגדרת ב- וחסומה שם, כלומר עבור כלשהו, וכן מתכנס במובן הצר. אזי מתכנס בהחלט במ"ש על .
- נתון כי כל רציפה ב- וכן במ"ש על . אזי רציפה ב-.
- במ"ש על וכל אינטגרבילית ב-. אזי אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
- היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-. הטור מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות מתכנס במ"ש על . אזי מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה כך ש-.
טורי חזקות
- יהי טור חזקות. רדיוס ההתכנסות מקיים שאם הנקודה מקיימת אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב- לכל .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אם קיים במובן הרחב אזי .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי היא פונקציה המוגדרת ב-, כך שנגזרתה בקטע זה היא .
- הכללה: בתנאים הללו, גזירה אינסוף פעמים ו- לכל . יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי לכל מתקיים , ז"א הטור הוא טור טיילור של סביב .
- יהי טור חזקות עם רדיוס התכנסות . אזי אינטגרבילית ב- ומתקיים לכל בקטע . רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא .
- משפט היחידות לטורי חזקות: אם לכל אזי .
- משפט אבל: נניח ש- טור חזקות בעל רדיוס התכנסות . אם קיים אזי קיים ושווה לו, ואם קיים אזי קיים ושווה לו.
השתנות חסומה
- בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי חסומה.
- בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש מונוטוניות עולות בקטע כך ש-.
- תהי בעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים ולכל קיים .
- תהי בעלת השתנות חסומה ב-. אזי אינטגרבילית ב-.