הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
(←דרך א') |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{dx}{x}=\ln(|x|)+C</math> |
==2== | ==2== | ||
שורה 7: | שורה 7: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | + | ;השלמה לריבוע והצבה ראשונה: | |
− | + | ||
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי: | הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי: | ||
− | <math>x^ | + | <math>x^2-4x-5=(x-2)^2-9</math> |
− | ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math>, וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math>. | + | ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math> , וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math> . |
− | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^ | + | <math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x-5}}=\int\frac{du}{\sqrt{u^2-9}}</math> |
− | + | ;פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה): | |
− | ניעזר בתכונות של <math>sinh(x)</math> ושל <math>cosh(x)</math>: | + | ניעזר בתכונות של <math>\sinh(x)</math> ושל <math>\cosh(x)</math> : |
− | <math>(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx</math> | + | <math>(\cosh(x))'=\sinh(x)=\int\cosh(x)dx</math> |
− | וכן בזהות: <math>cosh^ | + | וכן בזהות: <math>\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1</math> |
− | + | ;הצבה שניה: | |
− | נציב: <math>u= | + | נציב: <math>u=3\cosh(t)\Rightarrow du=3\sinh(t)dt</math> |
− | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^ | + | <math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-4x-5}}=\int\frac{du}{\sqrt{u^2-9}}=\int\frac{3\sinh(t)}{\sqrt{9\cosh^2(t)-9}}dt=\int\frac{3\sinh(t)}{3\sinh(t)}dt=\int dt=t+C</math> |
− | ולהחזיר את t | + | ולהחזיר את t ל-x, אני משאיר לכם (: |
==3== | ==3== | ||
− | |||
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה) | האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה) | ||
− | <math>\int \frac{sin^ | + | <math>\int\frac{\sin^2(x)}{\cos^6(x)}dx</math> |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | <math>\int \frac{sin^ | + | <math>\int\frac{\sin^2(x)}{\cos^6(x)}dx=\begin{Bmatrix}t=\tan(x)\\ dt=\frac{dx}{\cos^2(x)}\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}\sin^2(x)=\frac{t^2}{t^2+1}\\ \cos^2(x)=\frac{1}{t^2+1}\end{Bmatrix}=\int\frac{\frac{t^2}{t^2+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^2}}dt=</math> |
− | t= | + | |
− | dt=\frac{dx}{cos^ | + | |
− | \end{Bmatrix} | + | |
− | =\begin{Bmatrix} | + | |
− | sin^ | + | |
− | cos^ | + | |
− | \end{Bmatrix} | + | |
− | =\int \frac{\frac{t^ | + | |
− | <math>\int \frac{sin^ | + | <math>\int\frac{\sin^2(x)}{\cos^6(x)}dx=\int\frac{\frac{t^2}{t^2+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^2}}dt=\int t^2(t^2+1)dt=\cdots=\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}+C</math> |
− | =\int \frac{\frac{t^ | + | |
− | :: יש טעות בהצבה של <math>cos^ | + | ::יש טעות בהצבה של <math>\cos^2(x)</math> , שכן <math>\cos^6(x)=(\cos^2(x))^3=\frac{1}{(t^2+1)^3}</math> |
− | ::: אבל צריך לקחת בחשבון גם את | + | :::אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt |
− | :::: צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;) | + | ::::צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;) |
==4== | ==4== | ||
− | |||
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27) | בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27) | ||
− | <math>\int \sqrt{2-x-x^ | + | <math>\int\sqrt{2-x-x^2}dx</math> |
===דרך א'=== | ===דרך א'=== | ||
− | |||
'''א.''' ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה. | '''א.''' ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה. | ||
− | <math>\int \sqrt{2-x-x^ | + | <math>\int\sqrt{2-x-x^2}dx=\int\sqrt{1.5^2-(x+0.5)^2}dx=\int\sqrt{1.5^2-u^2}du</math> |
− | + | ||
הצבה ראשונה: <math>u=x+0.5\Rightarrow dx=du</math> | הצבה ראשונה: <math>u=x+0.5\Rightarrow dx=du</math> | ||
− | הצבה | + | הצבה שניה: <math>u=1.5\sin(t)\Rightarrow du=1.5\cos(t)dt</math> |
ואם נחזור לחישוב האינטגרל, | ואם נחזור לחישוב האינטגרל, | ||
− | <math>\int \sqrt{1.5^ | + | <math>\int\sqrt{1.5^2-u^2}du=\int 1.5\sqrt{1-\sin^2(t)}\cdot1.5\cos(t)dt=2.25\int\cos^2(t)dt=2.25\int\frac{\cos(2t)+1}{2}dt=2.25\left(\frac{\sin(2t)}{4}+\frac{t}{2}\right)+C</math> |
− | ומכאן מעבירים את t | + | ומכאן מעבירים את t ל-x. |
===דרך ב'=== | ===דרך ב'=== | ||
− | |||
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים: | ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים: | ||
− | <math>\int \sqrt{1.5^ | + | <math>\int\sqrt{1.5^2-u^2}du=\int (u)'\sqrt{1.5^2-u^2}du=u\sqrt{1.5^2-u^2}+\int\frac{u^2du}{\sqrt{1.5^2-u^2}}</math> |
− | + | ||
כעת נוכל להבחין כי מתקיים: | כעת נוכל להבחין כי מתקיים: | ||
+ | <math>\int\frac{u^2}{\sqrt{1.5^2-u^2}}du=\int\frac{u^2-1.5^{2}+1.5^2}{\sqrt{1.5^2-u^2}}du=\int\frac{1.5^2}{\sqrt{1.5^2-u^2}}du-\int\sqrt{1.5^2-u^2}du</math> | ||
− | + | כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: <math>1.5v=u</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: | + | |
− | <math>\int\frac{1.5^ | + | <math>\int\frac{1.5^2}{\sqrt{1.5^2-u^2}}du=1.5^2\int\frac{1.5}{1.5\sqrt{1-v^2}}dv=1.5^2\arcsin(v)=2.25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)+C</math> |
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל: | אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל: | ||
− | <math>\int \sqrt{1.5^ | + | <math>\int\sqrt{1.5^2-u^2}du=u\sqrt{1.5^2-u^2}+2.25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)-\int\sqrt{1.5^2-u^2}du</math> |
− | <math>2\int \sqrt{1.5^ | + | <math>2\int\sqrt{1.5^2-u^2}du=u\sqrt{1.5^2-u^2}+2.25\arcsin\left(\frac{2u}{3}\right)+C</math> |
וסיימנו (: | וסיימנו (: | ||
==5== | ==5== | ||
− | |||
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב) | אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב) | ||
− | <math>\int \frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}</math> כאשר <math> n\in\ | + | <math>\int\frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}</math> כאשר <math>n\in\N</math> . |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | הכוונה היא עבור <math>n>1</math> , עבור <math>n=1</math> תסתכלו בדוגמא הראשונה. | ||
− | + | <math>\int\frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}=\begin{Bmatrix}t^n=x\\nt^{n-1}dt=dx\end{Bmatrix}=\int\frac{nt^{n-1}}{t^n+t}dt=n\int\frac{t^{n-2}}{t^{n-1}+1}dt=\begin{Bmatrix}k=t^{n-1}+1\\dk=(n-1)t^{n-2}dt\end{Bmatrix}=</math> | |
− | + | <math>\int\frac{dx}{x+\sqrt[n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int\frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}\ln(|k|)+c=\frac{n}{n-1}\ln\Big(|x^{\frac{n-1}{n}}+1|\Big)+C</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | <math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+ | + | |
==6== | ==6== | ||
− | + | <math>\int\frac{\arctan(e^x)}{e^x}dx</math> | |
− | <math>\int \frac{arctan(e^ | + | |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | |||
ניעזר באינטגרציה בחלקים. | ניעזר באינטגרציה בחלקים. | ||
− | <math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix} | + | <math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^xdx}{1+e^{2x}}\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^x)+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math> |
− | du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ | + | |
− | v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^ | + | |
− | \end{Bmatrix} | + | |
− | =-e^{-x}arctan(e^ | + | |
− | + | ||
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | ||
− | <math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix} | + | <math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix}t=e^{2x}\\dt=2t\,dx\end{Bmatrix}=\int\frac{dt}{2t(1+t)}= |
− | t=e^{2x}\\ | + | \int\frac{dt}{2t}-\int\frac{dt}{2t+2}=0.5\big(\ln(|t|)-\ln(|t+1|)\big)+C=0.5\ln\left(\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\right)+C</math> |
− | dt= | + | |
− | \end{Bmatrix}= | + | |
− | \int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=0.5(ln| | + | |
− | + | לבסוף: | |
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\arctan(e^x)}{e^x}dx=\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}}\right)-e^{-x}\arctan(e^x)</math> | ||
==7== | ==7== | ||
− | + | <math>\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx</math> | |
− | <math>\int \frac{\sqrt{x^ | + | |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | נעשה את ההצבה הבאה: <math>x=\frac{4}{\cos(u)}\Rightarrow dx=\frac{4\sin(u)}{\cos^2(u)}du</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx=\int\frac{\sqrt{\frac{16}{\cos^2(u)}-16}}{\frac{4}{\cos(u)}}\cdot\frac{4\sin(u)}{\cos^2(u)}du= | ||
+ | \int 4\tan^2(u)du=4\int\big(\sec^2(u)-1\big)du</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=4\int\sec^2(u)du-4\int du=4\big(\tan(u)-u\big)+C</math> | ||
+ | |||
+ | מההצבה הראשונית מתקבל: | ||
− | + | <math>x=\frac{4}{\cos(u)}\Rightarrow u=\arccos\left(\frac{4}{x}\right)</math> | |
− | + | ||
− | + | לבסוף (אחרי פענוח): | |
− | + | <math>\int\frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx=\sqrt{x^2-16}-4\arccos\left(\frac{4}{|x|}\right)</math> | |
==8== | ==8== |
גרסה מ־00:26, 2 בנובמבר 2016
תוכן עניינים
1
2
פתרון
- השלמה לריבוע והצבה ראשונה
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
- פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה)
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
- הצבה שניה
נציב:
ולהחזיר את t ל-x, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
- יש טעות בהצבה של , שכן
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
- צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שניה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t ל-x.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור , עבור תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
לבסוף:
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
מההצבה הראשונית מתקבל:
לבסוף (אחרי פענוח):
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
הצבה
11
הצבה היפרבולית .
12
פתרון
פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)
להציב
13
פתרון (לא מלא)
זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם)
הצבה 1:
הצבה 2:
אח"כ צריך לשחק עם מה שמקבלים (לפי תכונות של קוסינוס וסינוס היפרבולי), ואז להעביר את זה לייצוג המקורי.
ואז, הצבה 3:
מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.
במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4.
14
פתרון
כעת נציב:
15
פתרון
(קרדיט מלא לסורקין) תוקן! סורקין לא סרוקין ולא צריך קרדיט...
כעת נתמקד באינטגרל הראשון, נפעיל אינטגרציה בחלקים:
ונשים לב כי מתקיים (באופן די מגניב):
16
פתרון
הצבה
לאחר מכן הצבה טריגונומטרית
ולאחר מכן ההצבה האוניברסאלית של טאנגנס חצי זוית
17
אם הינו אי זוגי, אזי:
נבצע את ההצבה לקבל
וזה פתיר וקל.
כעת, נניח כי זוגי:
וזו בעייה במעלה נמוכה יותר של אינטגרל על קוסינוס
אם k אי זוגי אז פותרים באופן דומה להתחלה, ואם לא שוב מקטינים את החזקה על ידי זהות זוית כפולה של קוסינוס.