הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==המספר e== | ==המספר e== | ||
− | לסדרה <math>a_n=\left(1+\ | + | לסדרה <math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). '''אנו מגדירים את המספר e''' להיות גבול הסדרה הזו. |
− | ::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\ | + | ::<math>e:=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> |
− | '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\ | + | '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי <math>e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n}</math> |
− | '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\ | + | '''משפט.''' תהי <math>a_n</math> סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי <math>b_n</math> סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול <math>L</math> . אזי <math>e^L=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{a_n}\right)^{a_n\cdot b_n}</math> |
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> | <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> | ||
− | חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\ | + | חשב את גבול הסדרה <math>a_n=\left(1-\dfrac1n\right)^n</math> |
− | + | ;פתרון | |
+ | נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה. | ||
+ | :<math>\begin{align}\left(1-\frac1n\right)^n&=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-1}\right)^n\\ | ||
+ | &=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{-n}=\left(1+\frac1{n-1}\right)^{(n-1)\frac{-n}{n-1}}\end{align}</math> | ||
− | |||
+ | כיון ש- <math>\dfrac{-n}{n-1}\to-1</math> אנו מקבלים כי | ||
− | + | <math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | <math>\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\ | + | |
==תכונות== | ==תכונות== | ||
− | הסדרה <math>\left(1+\ | + | הסדרה <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי: |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | :<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> | ||
;הוכחה: | ;הוכחה: | ||
שורה 41: | שורה 37: | ||
מובן מאליו כי | מובן מאליו כי | ||
− | + | :<math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> | |
− | :<math>\left(1+\ | + | |
− | + | ||
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ||
כמו כן: | כמו כן: | ||
− | + | :<math>\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1n\right)^n\cdot\left(1+\dfrac1n\right)\to e\cdot1</math> | |
− | :<math>\left(1+\ | + | |
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה. | וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה. | ||
שורה 56: | שורה 49: | ||
נסמן | נסמן | ||
− | + | :<math>a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> | |
− | :<math>a_n=\left(1+\ | + | |
− | + | ||
רוצים להוכיח | רוצים להוכיח | ||
− | |||
:<math>a_{n+1}<a_n</math> | :<math>a_{n+1}<a_n</math> | ||
− | |||
כלומר | כלומר | ||
− | + | :<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+2}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> | |
− | :<math>\left(1+\ | + | |
− | + | ||
נפתח את אי-השוויון: | נפתח את אי-השוויון: | ||
− | :<math>\left(1+\ | + | :<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)\left(1+\dfrac1{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}</math> |
− | :<math>\left(1+\ | + | :<math>\left(1+\dfrac1{n+1}\right)<\left(\frac{1+\frac1n}{1+\frac1{n+1}}\right)^{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+1}=\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}</math> |
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים: | כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים: | ||
− | + | :<math>\left(1+\dfrac1{n(n+2)}\right)^{n+1}=1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}+\cdots>1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math> | |
− | :<math>\left(1+\ | + | |
− | + | ||
לכן מספיק להוכיח כי | לכן מספיק להוכיח כי | ||
− | + | :<math>1+\dfrac1{n+1}<1+\dfrac{n+1}{n(n+2)}</math> | |
− | :<math>1+\ | + | |
− | + | ||
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד: | אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד: | ||
− | + | :<math>1<\dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)}=\dfrac{n^2+2n+1}{n^2+2n}</math> | |
− | :<math>1<\ | + | |
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> | <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> | ||
− | מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\ | + | מצא את גבול הסדרה <math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> |
− | :<math>\ | + | :<math>\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n!}}</math> |
− | לכן לפי משפט אם <math>\ | + | לכן לפי משפט אם <math>\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L</math> אזי גם <math>\sqrt[n]{a_n}\to L</math> . |
לכן הגבול הנו: | לכן הגבול הנו: | ||
− | + | :<math>\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n+1}n!}{n^n(n+1)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^{n}}{n^n}=e</math> | |
− | :<math>\lim\limits_{n\to\infty}\ | + |
גרסה מ־16:55, 11 בפברואר 2017
המספר e
לסדרה יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול . אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
- פתרון
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיון ש- אנו מקבלים כי
תכונות
הסדרה מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי מתקיים כי:
- הוכחה
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
מובן מאליו כי
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי-השוויון:
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
דוגמאות
תרגיל.
מצא את גבול הסדרה
לכן לפי משפט אם אזי גם .
לכן הגבול הנו: