הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←נורמה) |
(←נורמה) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
===תכונות הנורמה=== | ===תכונות הנורמה=== | ||
− | 1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:| | + | 1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|</math>. |
2. אי שליליות: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0</math>, ומתקיים: <math>|z|=0\iff z=0</math>. | 2. אי שליליות: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0</math>, ומתקיים: <math>|z|=0\iff z=0</math>. | ||
שורה 36: | שורה 36: | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
− | הוכיחו: <math>\forall | + | הוכיחו: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. |
+ | |||
+ | '''הערה:''' זה נקרא אש"מ ההפוך. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' נסמן <math>a=z-w,b=w</math>. נשים לב ש <math>z=z-w+w=a+b</math> ולכן <math>|z|=|a+b|</math>. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: <math>|z|=|a+b|\leq |a|+|b|=|z-w|+|w|</math>. נעביר אגפים לקבל <math>|z|-|w|\leq |z-w|</math>. | ||
+ | |||
+ | בדומה, נסמן <math>a=w-z,b=z</math>. נשים לב ש <math>w=w-z+z=a+b</math> ולכן <math>|w|=|a+b|</math>. כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: <math>|w|=|a+b|\leq |a|+|b|=|w-z|+|z|=|z-w|+|z|</math>. נעביר אגפים לקבל <math>|w|-|z|\leq |z-w|</math>. | ||
+ | |||
+ | נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. |
גרסה מ־09:43, 9 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .